\int 4 x \operatorname{tg}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 4x \tan\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é integração por substituição, onde precisamos reconhecer uma derivada interna que simplifique a integral.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2}
de modo que sua diferencial seja
du = 2x\,dx.

Passo 3

Reescrevendo 4x\,dx em função de du, temos
4x\,dx = 2\,(2x\,dx) = 2\,du.
Portanto a integral original vira
\int 4x \tan\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int 2\,\tan(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos em u: sabemos que
\int \tan(u)\,du = -\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.
Multiplicando por 2, obtemos
\int 2\,\tan(u)\,du = -2\,\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela substituição u = x^{2}, a solução final é
-2\,\ln\bigl|\cos(x^{2})\bigr| + C.

Resposta

-2\,\ln\bigl|\cos(x^{2})\bigr| + C

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