Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função
. Ou seja, precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada)
tal que
Informações dadas e observações úteis:
- A integranda é a soma de duas funções:
e . - Trata‑se de uma integral indefinida (sem limites), então o resultado deve conter a constante de integração ).
- Note que
não está definida em ; a primitiva terá sentido para .
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade da integral: para funções
e
,
Aplicando ao nosso caso obtemos
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 3
Calcular
.
Um fato fundamental: a derivada de
é
para
. Explicando por que usamos valor absoluto: para
a primitiva natural é
; para
a primitiva pode ser escrita como
. Ambas são unificadas por
. Logo
Passo 4
Calcular
.
Primeiro escrevemos
como potência:
. Então aplicamos a regra da potência para integração: se
,
Aqui
. Assim
Simplificando a divisão por
:
Portanto
Passo 5
Somando os resultados das duas integrais e lembrando de colocar uma única constante de integração
), obtemos a primitiva geral:
Passo 6
Verificação rápida diferenciando a resposta para checar se voltamos à integranda:
-
. -
.
Somando:. Confere!
Passo 7
Observação sobre domínio e escrita: a fórmula
vale para
. Se você souber que está trabalhando só com
, pode escrever
em vez de
. Você conseguiu — agora respira e parte pro próximo exercício!