\int\left(\frac{1}{x}+\sqrt{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função \frac{1}{x} + \sqrt{x}. Ou seja, precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) F(x) tal que
F'(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}.
Informações dadas e observações úteis:
  • A integranda é a soma de duas funções: \frac{1}{x} e \sqrt{x}.
  • Trata‑se de uma integral indefinida (sem limites), então o resultado deve conter a constante de integração \(C ).
  • Note que \frac{1}{x} não está definida em x=0; a primitiva terá sentido para x\neq0.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: para funções f e g,
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
Aplicando ao nosso caso obtemos
\int\left(\frac{1}{x}+\sqrt{x}\right)dx = \int\frac{1}{x}\,dx + \int\sqrt{x}\,dx.
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx.
Um fato fundamental: a derivada de \ln|x| é \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x} para x\neq0. Explicando por que usamos valor absoluto: para x>0 a primitiva natural é \ln x; para x<0 a primitiva pode ser escrita como \ln(-x). Ambas são unificadas por \ln|x|. Logo
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln|x|.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int\sqrt{x}\,dx.
Primeiro escrevemos \sqrt{x} como potência: \sqrt{x}=x^{1/2}. Então aplicamos a regra da potência para integração: se n\neq-1,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Assim
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C.
Simplificando a divisão por 3/2:
\frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}.
Portanto
\int\sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 5

Somando os resultados das duas integrais e lembrando de colocar uma única constante de integração \(C ), obtemos a primitiva geral:
\int\left(\frac{1}{x}+\sqrt{x}\right)dx = \ln|x| + \frac{2}{3}x^{3/2} + C.

Passo 6

Verificação rápida diferenciando a resposta para checar se voltamos à integranda:
  • \dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x}.
  • \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\right) = \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{2}x^{1/2} = x^{1/2} = \sqrt{x}.
    Somando: \dfrac{1}{x}+\sqrt{x}. Confere!

Passo 7

Observação sobre domínio e escrita: a fórmula \ln|x| + \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C vale para x\neq0. Se você souber que está trabalhando só com x>0, pode escrever \ln x em vez de \ln|x|. Você conseguiu — agora respira e parte pro próximo exercício!

Resposta

\ln|x|+\dfrac{2}{3}x^{3/2}+C

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