EXEMPLO 3. Determine uma solução y=y(x) da equação
x d x+2 y d y=0
jue satisfaz a condição inicial y(1)=2.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma função y=y(x) que satisfaça a equação diferencial
x\,dx + 2y\,dy = 0
e ainda obedeça à condição inicial y(1)=2.
Informações dadas:
  • Equação diferencial: x\,dx + 2y\,dy = 0.
  • Condição inicial: y(1)=2.
O que se quer: uma solução explícita y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Vamos manipular a equação para colocá-la numa forma que a gente sabe integrar. A equação escrita é
x\,dx + 2y\,dy = 0.
Posso passar o termo 2y\,dy para o outro lado:
x\,dx = -\,2y\,dy.
Isto é uma separação de variáveis direta: o lado esquerdo depende só de x (através de x\,dx) e o lado direito só de y (através de y\,dy). A ideia agora é integrar os dois lados em relação às suas variáveis.
Pequena aula rápida sobre as integrais que vamos usar:
  • Integração de x em relação a x: \displaystyle\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C. Aqui C é uma constante de integração.
  • Integração de y em relação a y: \displaystyle\int y\,dy = \frac{y^2}{2} + C.
    No nosso caso há um fator -2 multiplicando \int y\,dy, então -2\int y\,dy = -2\cdot\frac{y^2}{2} = -y^2.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados conforme a separação obtida:
\int x\,dx = \int -2y\,dy.
Calculando cada integral:
\frac{x^2}{2} = -\,y^2 + C,
onde C é a constante de integração (única constante aparecendo depois de juntar os termos). Podemos rearranjar para escrever a relação de forma mais simétrica:
\frac{x^2}{2} + y^2 = C.
Isto é uma família de curvas (circunferências elípticas no plano x,y) que contém todas as soluções implícitas.

Passo 4

Agora usamos a condição inicial y(1)=2 para determinar C. Substituindo x=1 e y=2 na expressão
\frac{x^2}{2} + y^2 = C
temos
\frac{1^2}{2} + 2^2 = C.
Calculando passo a passo:
\frac{1}{2} + 4 = \frac{1}{2} + \frac{8}{2} = \frac{9}{2}.
Logo
C = \frac{9}{2}.

Passo 5

Substituindo C=\dfrac{9}{2} na relação implícita obtemos
\frac{x^2}{2} + y^2 = \frac{9}{2}.
Isolando y^2:
y^2 = \frac{9}{2} - \frac{x^2}{2} = \frac{9 - x^2}{2}.
Tomando a raiz quadrada, a solução geral explícita é
y(x) = \pm\sqrt{\frac{9 - x^2}{2}}.
Para escolher o sinal, usamos a condição inicial: y(1)=2>0, então precisamos do ramo positivo. Além disso, para a expressão dentro da raiz fazer sentido real precisamos de 9-x^2 \ge 0, ou seja |x|\le 3. Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x) = \sqrt{\frac{9 - x^2}{2}},\qquad |x|\le 3.

Resposta

\displaystyle y(x)=\sqrt{\frac{9-x^2}{2}},\quad |x|\le 3

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