EXEMPLO 3. Determine uma solução
da equação
jue satisfaz a condição inicial
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre uma função
que satisfaça a equação diferencial
e ainda obedeça à condição inicial
.
Informações dadas:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que se quer: uma solução explícita
que satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Vamos manipular a equação para colocá-la numa forma que a gente sabe integrar. A equação escrita é
Posso passar o termo
para o outro lado:
Isto é uma separação de variáveis direta: o lado esquerdo depende só de
(através de
) e o lado direito só de
(através de
). A ideia agora é integrar os dois lados em relação às suas variáveis.
Pequena aula rápida sobre as integrais que vamos usar:
- Integração de
em relação a : . Aqui é uma constante de integração. - Integração de
em relação a : .
No nosso caso há um fatormultiplicando , então .
Passo 3
Agora integramos ambos os lados conforme a separação obtida:
Calculando cada integral:
onde
é a constante de integração (única constante aparecendo depois de juntar os termos). Podemos rearranjar para escrever a relação de forma mais simétrica:
Isto é uma família de curvas (circunferências elípticas no plano
) que contém todas as soluções implícitas.
Passo 4
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão
temos
Calculando passo a passo:
Logo
Passo 5
Substituindo
na relação implícita obtemos
Isolando
:
Tomando a raiz quadrada, a solução geral explícita é
Para escolher o sinal, usamos a condição inicial:
, então precisamos do ramo positivo. Além disso, para a expressão dentro da raiz fazer sentido real precisamos de
, ou seja
. Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é