Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pede-se a primitiva (antiderivada) da função
, isto é calcular
- Informação importante: aparece
, portanto o domínio natural para a versão real é . Vamos assumir esse domínio ao trabalhar com potências fracionárias.
Passo 2
Escolha do método e por quê (substituição simples).
- Aqui temos uma raiz
. Uma ideia clássica é simplificar essa raiz transformando a expressão numa nova variável. Fazemos a substituição
- Calculamos
em função de : como então . Também . - Vantagem: a raiz vira simplesmente
e a integral tende a ficar em potências de , que são fáceis de integrar com a regra da potência.
Passo 3
Reescrever a integral na nova variável e simplificar.
- Substituindo
e na integral,
- Agora espalhamos a multiplicação usando propriedades de potências:
- Assim a integral fica
Passo 4
Integração termo a termo usando a regra da potência.
- Regra da potência para integrais: para
,
Aqui vamos aplicar essa regra para
e
.
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Somando os resultados e incluindo a constante de integração
,
Passo 5
Voltar à variável original
e comentar sobre o domínio.
- Substituindo
de volta, obtemos a primitiva em termos de . A primitiva válida para é
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (checagem).
- Diferenciando a expressão encontrada:
- Somando as duas derivadas obtemos
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.