\int(x+1) \sqrt{x-1} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se a primitiva (antiderivada) da função (x+1)\sqrt{x-1}, isto é calcular
\int (x+1)\sqrt{x-1}\,dx.
  • Informação importante: aparece \sqrt{x-1}, portanto o domínio natural para a versão real é x\ge 1. Vamos assumir esse domínio ao trabalhar com potências fracionárias.

Passo 2

Escolha do método e por quê (substituição simples).
  • Aqui temos uma raiz \sqrt{x-1}. Uma ideia clássica é simplificar essa raiz transformando a expressão x-1 numa nova variável. Fazemos a substituição
u = x-1.
  • Calculamos dx em função de du: como u=x-1 então du = dx. Também x = u+1.
  • Vantagem: a raiz vira simplesmente u^{1/2} e a integral tende a ficar em potências de u, que são fáceis de integrar com a regra da potência.

Passo 3

Reescrever a integral na nova variável e simplificar.
  • Substituindo x=u+1 e dx=du na integral,
\int (x+1)\sqrt{x-1}\,dx = \int (u+1+1)\,u^{1/2}\,du = \int (u+2)\,u^{1/2}\,du.
  • Agora espalhamos a multiplicação usando propriedades de potências:
(u+2)\,u^{1/2} = u\cdot u^{1/2} + 2u^{1/2} = u^{3/2} + 2u^{1/2}.
  • Assim a integral fica
\int \bigl(u^{3/2} + 2u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integração termo a termo usando a regra da potência.
  • Regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui vamos aplicar essa regra para n=\tfrac{3}{2} e n=\tfrac{1}{2}.
  • Primeiro termo:
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,u^{5/2}.
  • Segundo termo:
\int 2u^{1/2}\,du = 2\cdot\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} = 2\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} = 2\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{4}{3}\,u^{3/2}.
  • Somando os resultados e incluindo a constante de integração C,
\int \bigl(u^{3/2} + 2u^{1/2}\bigr)\,du = \frac{2}{5}\,u^{5/2} + \frac{4}{3}\,u^{3/2} + C.

Passo 5

Voltar à variável original x e comentar sobre o domínio.
  • Substituindo u = x-1 de volta, obtemos a primitiva em termos de x. A primitiva válida para x\ge 1 é
\frac{2}{5}\,(x-1)^{5/2} + \frac{4}{3}\,(x-1)^{3/2} + C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (checagem).
  • Diferenciando a expressão encontrada:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{5}(x-1)^{5/2}\right) = \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}(x-1)^{3/2}= (x-1)^{3/2},
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{4}{3}(x-1)^{3/2}\right) = \frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}(x-1)^{1/2}=2(x-1)^{1/2}.
  • Somando as duas derivadas obtemos
(x-1)^{3/2}+2(x-1)^{1/2}=(x+1)\sqrt{x-1},
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.

Resposta

\frac{2}{5}\,(x-1)^{5/2}+\frac{4}{3}\,(x-1)^{3/2}+C

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