Efetue a multiplicação dos polinômios:
(3 x+2) \cdot(x 2-5 x+4)

Passo 1

O enunciado pede para multiplicar os dois polinômios e apresentar o resultado simplificado. As informações dadas são:
  • Primeiro polinômio: (3x+2).
  • Segundo polinômio: (x^{2}-5x+4).
A tarefa é calcular o produto (3x+2)\cdot(x^{2}-5x+4) e simplificar (ou seja, somar termos semelhantes e escrever em forma padrão).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. A propriedade distributiva diz que, para quaisquer números ou expressões a,b,c,
a(b+c)=ab+ac.
Aplicando isso a polinômios, multiplica-se cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo e depois soma-se todos os produtos. Isso é prático e direto para polinômios pequenos como este.

Passo 3

Multiplicamos o primeiro termo do primeiro polinômio, 3x, por cada termo do segundo polinômio:
3x\cdot x^{2}=3x^{3},
3x\cdot(-5x)=-15x^{2},
3x\cdot 4=12x.

Passo 4

Agora multiplicamos o segundo termo do primeiro polinômio, 2, por cada termo do segundo polinômio:
2\cdot x^{2}=2x^{2},
2\cdot(-5x)=-10x,
2\cdot 4=8.

Passo 5

Somamos todos os produtos obtidos:
3x^{3}+(-15x^{2})+12x+2x^{2}+(-10x)+8.
Agora vamos agrupar termos semelhantes (termos que têm a mesma potência de x).

Passo 6

Identificar e somar os termos semelhantes:
  • Termos em x^{3}: apenas 3x^{3}.
  • Termos em x^{2}: -15x^{2}+2x^{2} = -13x^{2}.
  • Termos em x: 12x-10x = 2x.
  • Termos constantes: 8.
Portanto, somando tudo:
3x^{3}-13x^{2}+2x+8.

Passo 7

Verificação rápida (cheirinho de segurança): avaliaremos ambos os lados em x=1.
Produto original:
(3\cdot1+2)\cdot(1^{2}-5\cdot1+4)=(3+2)\cdot(1-5+4)=5\cdot0=0.
Polinômio obtido:
3\cdot1^{3}-13\cdot1^{2}+2\cdot1+8=3-13+2+8=0.
Como bateu em x=1, a conta fez sentido (boa pista, não prova completa, mas é reconfortante).

Resposta

3x^{3}-13x^{2}+2x+8

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