(1) \int_{0}^{1} \int_{0}^{3 x+1} 5 x y d y d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A variável de integração interna é
, com limite inferior e superior . - A variável externa é
, com limite de a . - O integrando é
.
Objetivo: obter o valor numérico da integral dupla (avaliar a integral iterada).
Passo 2
Entendimento do procedimento (passo a passo que vou aplicar).
- Quando fazemos
tratamos como constante, pois a integração é em relação a . - Constantes multiplicativas podem ser tiradas da integral:
é constante frente à integração em . - Usarei a regra de potência para integrar
: para qualquer ,
No caso
,
.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Aplicando
,
Portanto a integral iterada passa a
Passo 4
Simplificar o integrando para integrar em
.
Primeiro desenvolver :
Primeiro desenvolver
Multiplicando por
:
Multiplicando pelo fator
:
Então a integral em
é
Passo 5
Integrar termo a termo usando a regra da potência:
.
-
-
-
Portanto a primitiva é
Agora avaliar de
a
:
Passo 6
Somar as frações com denominador comum
:
Não há mais termos (avaliando em
todos os monômios dão zero), então o valor final da integral é
.