(1) \int_{0}^{1} \int_{0}^{3 x+1} 5 x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{3x+1} 5x y \, dy \, dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração interna é y, com limite inferior 0 e superior 3x+1.
  • A variável externa é x, com limite de 0 a 1.
  • O integrando é 5x y.
    Objetivo: obter o valor numérico da integral dupla (avaliar a integral iterada).

Passo 2

Entendimento do procedimento (passo a passo que vou aplicar).
  • Quando fazemos \int_{0}^{3x+1} 5x y \, dy tratamos x como constante, pois a integração é em relação a y.
  • Constantes multiplicativas podem ser tiradas da integral: 5x é constante frente à integração em y.
  • Usarei a regra de potência para integrar y: para qualquer n\neq -1,
\int y^{n}\, dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}.
No caso n=1, \int y\, dy = \dfrac{y^{2}}{2}.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{3x+1} 5x y \, dy = 5x \int_{0}^{3x+1} y \, dy.
Aplicando \int y\, dy=\dfrac{y^{2}}{2},
5x \int_{0}^{3x+1} y \, dy = 5x \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{3x+1} =5x\cdot\frac{(3x+1)^{2}}{2}.
Portanto a integral iterada passa a
\int_{0}^{1} 5x\cdot\frac{(3x+1)^{2}}{2}\, dx.

Passo 4

Simplificar o integrando para integrar em x.
Primeiro desenvolver (3x+1)^{2}:
(3x+1)^{2}=9x^{2}+6x+1.
Multiplicando por x:
x(9x^{2}+6x+1)=9x^{3}+6x^{2}+x.
Multiplicando pelo fator \dfrac{5}{2}:
\frac{5}{2}\,x(3x+1)^{2}=\frac{45}{2}x^{3}+15x^{2}+\frac{5}{2}x.
Então a integral em x é
\int_{0}^{1}\left(\frac{45}{2}x^{3}+15x^{2}+\frac{5}{2}x\right)dx.

Passo 5

Integrar termo a termo usando a regra da potência: \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
  • \displaystyle \int \frac{45}{2}x^{3}\,dx=\frac{45}{2}\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{45}{8}x^{4}.
  • \displaystyle \int 15x^{2}\,dx=15\cdot\frac{x^{3}}{3}=5x^{3}.
  • \displaystyle \int \frac{5}{2}x\,dx=\frac{5}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{5}{4}x^{2}.
    Portanto a primitiva é
\frac{45}{8}x^{4}+5x^{3}+\frac{5}{4}x^{2}.
Agora avaliar de 0 a 1:
\left[\frac{45}{8}x^{4}+5x^{3}+\frac{5}{4}x^{2}\right]_{0}^{1} =\frac{45}{8}\cdot1+\;5\cdot1+\;\frac{5}{4}\cdot1 =\frac{45}{8}+5+\frac{5}{4}.

Passo 6

Somar as frações com denominador comum 8:
\frac{45}{8} + 5 + \frac{5}{4} = \frac{45}{8} + \frac{40}{8} + \frac{10}{8} = \frac{95}{8}.
Não há mais termos (avaliando em 0 todos os monômios dão zero), então o valor final da integral é \dfrac{95}{8}.

Resposta

\dfrac{95}{8}

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