Em processamento de imagens (e controle por visão), um filtro Gaussiano típico (2D) é modelado da forma
, onde
é o desvio padrão da Guassiana. Esta função controla quão espalhada é uma função. Encontre
para que
1, isto é, se comporte como uma função densidade de probabilidade.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
.
Pede para encontrar a constante tal que
Pede para encontrar a constante
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende de
e apenas pela soma (é radial). - A constante desconhecida é
. - O domínio de integração é todo o plano
.
Passo 2
Escrevemos a condição de normalização explicitamente:
Ou seja, precisamos calcular a integral
e depois impor
.
Passo 3
Como a função é radial (depende só de
), é muito conveniente mudar para coordenadas polares:
com o elemento de área dado por
. Os limites em polares para
são
e
. Assim
Passo 4
Calculemos a integral radial interna. Use a substituição
Com isso
Passo 5
Agora integramos em
e combinamos resultados:
Voltando à condição de normalização
, obtemos
Passo 6
Comentário pedagógico rápido (opcional): uma alternativa é separar a integral em produto de integrais unidimensionais, usando que
logo o produto em
e
dá
e leva à mesma
. Por exemplo, para
temos
.