Em processamento de imagens (e controle por visão), um filtro Gaussiano típico (2D) é modelado da forma G(x, y)=C e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2 \sigma^{2}}}, onde \sigma é o desvio padrão da Guassiana. Esta função controla quão espalhada é uma função. Encontre C para que \iint_{\mathbb{R}^{2}} G(x, y) d x d y= 1, isto é, se comporte como uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

O enunciado dá a função G(x,y)=C e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma^{2}}} com \sigma>0.
Pede para encontrar a constante C tal que
\iint_{\mathbb{R}^{2}} G(x,y)\,dx\,dy = 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende de x e y apenas pela soma x^{2}+y^{2} (é radial).
  • A constante desconhecida é C.
  • O domínio de integração é todo o plano \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Escrevemos a condição de normalização explicitamente:
1=\iint_{\mathbb{R}^{2}} G(x,y)\,dx\,dy = C \iint_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx\,dy.
Ou seja, precisamos calcular a integral
I=\iint_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx\,dy
e depois impor C\cdot I=1.

Passo 3

Como a função é radial (depende só de x^{2}+y^{2}), é muito conveniente mudar para coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com o elemento de área dado por dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Os limites em polares para \mathbb{R}^{2} são r\in[0,\infty) e \theta\in[0,2\pi). Assim
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos a integral radial interna. Use a substituição
u=\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}\quad\Rightarrow\quad du=\frac{r}{\sigma^{2}}\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\sigma^{2}\,du.
Com isso
\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}}\,r\,dr = \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,\sigma^{2}\,du = \sigma^{2}\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = \sigma^{2}.

Passo 5

Agora integramos em \theta e combinamos resultados:
I=\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}}\,r\,dr\right)d\theta = \int_{0}^{2\pi} \sigma^{2}\,d\theta = 2\pi\sigma^{2}.
Voltando à condição de normalização C\cdot I=1, obtemos
C\cdot(2\pi\sigma^{2})=1 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido (opcional): uma alternativa é separar a integral em produto de integrais unidimensionais, usando que
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx=\sqrt{2\pi}\,\sigma,
logo o produto em x e y 2\pi\sigma^{2} e leva à mesma C. Por exemplo, para \sigma=1 temos C=\tfrac{1}{2\pi}.

Resposta

\displaystyle C=\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}

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