Usando este método,
Determine o volume do sólido limitado pelo plano z=1 e pelo paraboloide z=3-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o plano \,z=1\, e o paraboloide \,z=3-x^{2}-y^{2}\,.
  • Pede-se determinar o volume do sólido limitado por essas duas superfícies (ou seja, o volume da região comum entre elas).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As duas superfícies se intersectam quando \,1=3-x^{2}-y^{2}\,, ou seja quando \,x^{2}+y^{2}=2\,.
  • A interseção é um círculo no plano xy de raio \,\sqrt{2}\,.
  • Para pontos com \,x^{2}+y^{2}<2\, o paraboloide tem altura maior ( \,z=3-x^{2}-y^{2}>1\,), então o sólido é a região onde o paraboloide fica acima do plano e limitada lateralmente pelo círculo \,x^{2}+y^{2}=2\,.

Passo 2

Fórmula geral que usaremos (explicadinha): para volume entre duas superfícies contínuas \,z_{\text{top}}(x,y)\, e \,z_{\text{bot}}(x,y)\, sobre uma região plana D no plano xy,
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA.
O que cada coisa significa:
  • \,D\, é a projeção do sólido no plano xy (a “sombra” do sólido no plano).
  • \,z_{\text{top}}(x,y)\, é a superfície superior (aqui o paraboloide \,3-x^{2}-y^{2}\,).
  • \,z_{\text{bot}}(x,y)\, é a superfície inferior (aqui o plano \,1).
  • \,dA\, é o elemento de área no plano xy. Em coordenadas cartesianas \,dA=dx\,dy; em coordenadas polares \,dA=r\,dr\,d\theta (vou explicar por que escolho polares no próximo passo).
Por que usar coordenadas polares aqui: a região D é um disco \,x^{2}+y^{2}\le 2\,, que tem simetria circular. Em problemas com círculos ou funções que dependem de x^{2}+y^{2} é mais prático usar coordenadas polares, onde \,x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\, e o elemento de área torna-se \,dA=r\,dr\,d\theta\,. O fator extra r é o jacobiano da transformação (ele mede como as pequenas áreas se deformam quando passando de (x,y) para (r,\theta)).

Passo 3

Determinar D e as superfícies explícitas:
  • A interseção deu \,x^{2}+y^{2}=2\,, então a região D é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 2\}.
  • A superfície superior é \,z_{\text{top}}(x,y)=3-x^{2}-y^{2}\,.
  • A superfície inferior é \,z_{\text{bot}}(x,y)=1.
Na coordenada polar a condição do disco fica simples: \,0\le r\le\sqrt{2}\, e \,0\le\theta\le 2\pi. A diferença de alturas é
z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}=(3-x^{2}-y^{2})-1=2-(x^{2}+y^{2}).
Em polares x^{2}+y^{2}=r^{2}, logo a diferença vira \,2-r^{2}\,. O elemento de área é \,dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Montar o integral em coordenadas polares e calcular:
O volume é
V=\iint_{D}\bigl(2-r^{2}\bigr)\,dA =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{2}}\bigl(2-r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Explico o integrando: o produto \,(2-r^{2})\cdot r\, vem da diferença de alturas vezes o jacobiano r.
Agora calculo a integral interna em r:
\int_{0}^{\sqrt{2}}\bigl(2-r^{2}\bigr)r\,dr =\int_{0}^{\sqrt{2}}\bigl(2r-r^{3}\bigr)\,dr.
Integro termo a termo:
  • \displaystyle\int 2r\,dr=r^{2}.
  • \displaystyle\int r^{3}\,dr=\frac{1}{4}r^{4}.
Avalio de 0 a \sqrt{2}:
\left[r^{2}\right]_{0}^{\sqrt{2}}-\left[\frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{\sqrt{2}} =(\sqrt{2})^{2}-\frac{1}{4}(\sqrt{2})^{4} =2-\frac{1}{4}\cdot 4 =2-1=1.
Portanto a integral interna dá 1. Agora integro em \theta:
V=\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi.

Passo 5

Interpretação rápida e checagem de sanidade:
  • O resultado \,V=2\pi\, é razoável: a área da base (o disco de raio \sqrt{2}) é \,\pi(\sqrt{2})^{2}=2\pi\,. A diferença de alturas não é constante, mas a integral mostrou que a média da diferença sobre o disco é 1, porque o volume total acabou sendo igual à área da base vezes 1. Isso pode ser usado como checagem rápida: a diferença de alturas no centro é 2 (em r=0), vai a 0 na borda; a média sendo 1 faz sentido simetricamente.
Força aí — esse tipo de integral fica bem tranquilo quando a região é um disco: lembra sempre da regra \,V=\iint (z_{\text{top}}-z_{\text{bot}})\,dA\, e de passar para polares quando aparecer x^{2}+y^{2}.

Resposta

V=2\pi

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