Usando este método,
Determine o volume do sólido limitado pelo plano
e pelo paraboloide
.
Determine o volume do sólido limitado pelo plano
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o plano
e o paraboloide . - Pede-se determinar o volume do sólido limitado por essas duas superfícies (ou seja, o volume da região comum entre elas).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As duas superfícies se intersectam quando
, ou seja quando . - A interseção é um círculo no plano
de raio . - Para pontos com
o paraboloide tem altura maior ( ), então o sólido é a região onde o paraboloide fica acima do plano e limitada lateralmente pelo círculo .
Passo 2
Fórmula geral que usaremos (explicadinha): para volume entre duas superfícies contínuas
e
sobre uma região plana
no plano
,
O que cada coisa significa:
-
é a projeção do sólido no plano (a “sombra” do sólido no plano). -
é a superfície superior (aqui o paraboloide ). -
é a superfície inferior (aqui o plano ). -
é o elemento de área no plano . Em coordenadas cartesianas ; em coordenadas polares (vou explicar por que escolho polares no próximo passo).
Por que usar coordenadas polares aqui: a região
é um disco
, que tem simetria circular. Em problemas com círculos ou funções que dependem de
é mais prático usar coordenadas polares, onde
e o elemento de área torna-se
. O fator extra
é o jacobiano da transformação (ele mede como as pequenas áreas se deformam quando passando de
para
).
Passo 3
Determinar
e as superfícies explícitas:
- A interseção deu
, então a região é o disco
- A superfície superior é
. - A superfície inferior é
.
Na coordenada polar a condição do disco fica simples:
e
. A diferença de alturas é
Em polares
, logo a diferença vira
. O elemento de área é
.
Passo 4
Montar o integral em coordenadas polares e calcular:
O volume é
Explico o integrando: o produto
vem da diferença de alturas vezes o jacobiano
.
Agora calculo a integral interna em
:
Integro termo a termo:
-
. -
.
Avalio de
a
:
Portanto a integral interna dá
. Agora integro em
:
Passo 5
Interpretação rápida e checagem de sanidade:
- O resultado
é razoável: a área da base (o disco de raio ) é . A diferença de alturas não é constante, mas a integral mostrou que a média da diferença sobre o disco é , porque o volume total acabou sendo igual à área da base vezes . Isso pode ser usado como checagem rápida: a diferença de alturas no centro é (em ), vai a na borda; a média sendo faz sentido simetricamente.
Força aí — esse tipo de integral fica bem tranquilo quando a região é um disco: lembra sempre da regra
e de passar para polares quando aparecer
.