Integração por partes:
int e^{-x} cos x d x

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int e^{-x}\cos x\,dx.
Ou seja, encontrar uma função primitiva F(x) tal que F'(x)=e^{-x}\cos x. Não há outras informações; vamos usar técnicas de cálculo para encontrar essa primitiva passo a passo.

Passo 2

Relembrando e derivando a fórmula de integração por partes (a ferramenta que vamos usar). Partimos da regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Integrando ambos os lados em x obtemos
\int \frac{d}{dx}(u v)\,dx = \int u'\,v\,dx + \int u\,v'\,dx.
A integral do lado esquerdo é u v, portanto
u v = \int u'\,v\,dx + \int u\,v'\,dx.
Isolando \int u\,v'\,dx vem a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde du=u'\,dx e dv=v'\,dx. Aqui:
  • u é uma função que escolhemos para derivar (vai virar du),
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (vai virar v).
    A escolha é estratégica: tipicamente escolhe-se u fácil de derivar e dv fácil de integrar.

Passo 3

Escolha de u e dv para a nossa integral. Para
I=\int e^{-x}\cos x\,dx
é conveniente escolher
u=\cos x,\qquad dv=e^{-x}\,dx,
porque \cos x tem derivada simples e e^{-x} tem antiderivada simples. Agora calculamos du e v:
du = -\sin x\,dx,\qquad v=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.

Passo 4

Aplicando a fórmula \int u\,dv = u v - \int v\,du com as escolhas acima:
I = \int e^{-x}\cos x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u=\cos x, v=-e^{-x} e du=-\sin x\,dx:
I = \cos x\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot(-\sin x)\,dx.
Agora simplificamos os sinais dentro da integral:
I = -e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\sin x\,dx.
Para organizar, chamo a segunda integral de
J=\int e^{-x}\sin x\,dx.
Então temos
I = -e^{-x}\cos x - J.

Passo 5

Calculando J=\int e^{-x}\sin x\,dx por integração por partes também. Faço a mesma estratégia:
u=\sin x,\qquad dv=e^{-x}\,dx,
logo
du=\cos x\,dx,\qquad v=-e^{-x}.
Aplicando a fórmula:
J = u v - \int v\,du = \sin x\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cos x\,dx.
Simplificando os sinais:
J = -e^{-x}\sin x + \int e^{-x}\cos x\,dx.
Mas a integral \int e^{-x}\cos x\,dx é precisamente I. Portanto
J = -e^{-x}\sin x + I.

Passo 6

Volto à expressão do Passo 4 onde I = -e^{-x}\cos x - J. Substituo aqui o valor de J encontrado no Passo 5:
I = -e^{-x}\cos x - \big(-e^{-x}\sin x + I\big).
Agora faço a álgebra dos termos com cuidado:
I = -e^{-x}\cos x + e^{-x}\sin x - I.

Passo 7

Isolo I somando I em ambos os lados:
I + I = 2I = e^{-x}\sin x - e^{-x}\cos x.
Fatorando e^{-x} no lado direito:
2I = e^{-x}\big(\sin x - \cos x\big).
(Aqui estamos trabalhando com primitivas; a constante de integração será adicionada no final.)

Resposta

\int e^{-x}\cos x\,dx = \frac{1}{2}e^{-x}\big(\sin x - \cos x\big) + C

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