Integração por partes:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Ou seja, encontrar uma função primitiva
tal que
. Não há outras informações; vamos usar técnicas de cálculo para encontrar essa primitiva passo a passo.
Passo 2
Relembrando e derivando a fórmula de integração por partes (a ferramenta que vamos usar). Partimos da regra do produto: se
e
são diferenciáveis então
Integrando ambos os lados em
obtemos
A integral do lado esquerdo é
, portanto
Isolando
vem a fórmula de integração por partes:
onde
e
. Aqui:
-
é uma função que escolhemos para derivar (vai virar ), -
é a parte que escolhemos para integrar (vai virar ).
A escolha é estratégica: tipicamente escolhe-sefácil de derivar e fácil de integrar.
Passo 3
Escolha de
e
para a nossa integral. Para
é conveniente escolher
porque
tem derivada simples e
tem antiderivada simples. Agora calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula
com as escolhas acima:
Substituindo
,
e
:
Agora simplificamos os sinais dentro da integral:
Para organizar, chamo a segunda integral de
Então temos
Passo 5
Calculando
por integração por partes também. Faço a mesma estratégia:
logo
Aplicando a fórmula:
Simplificando os sinais:
Mas a integral
é precisamente
. Portanto
Passo 6
Volto à expressão do Passo 4 onde
. Substituo aqui o valor de
encontrado no Passo 5:
Agora faço a álgebra dos termos com cuidado:
Passo 7
Isolo
somando
em ambos os lados:
Fatorando
no lado direito:
(Aqui estamos trabalhando com primitivas; a constante de integração será adicionada no final.)