Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int x^{3} \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral
\int x^{3}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx,
usando o método de integração por partes. Informação dada: o integrando é x^{3}\cos\!(x^{2}). A tarefa é encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função.

Passo 2

Lembrete didático: fórmula da integração por partes. Para funções u(x) e v(x) diferenciáveis, vale
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é a parte que escolhemos para diferenciar (gera du) e dv é a parte que escolhemos para integrar (gera v). A ideia prática é escolher u de modo que du fique mais simples, e escolher dv de modo que v=\int dv seja fácil de calcular.

Passo 3

Escolha das partes. Observando x^{3}\cos(x^{2}) podemos escrever
x^{3}\cos(x^{2}) = \bigl(x^{2}\bigr)\cdot\bigl(x\cos(x^{2})\bigr).
Faz sentido tomar
u = x^{2},\qquad dv = x\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx,
porque u é um polinômio (fica mais simples ao derivar) e dv tem a forma x\cdot f(x^{2})\,dx, que integra bem por substituição.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivando u:
du = d(x^{2}) = 2x\,dx.
Para achar v precisamos integrar dv:
v = \int x\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Fazemos a substituição auxiliar t = x^{2}, então dt = 2x\,dx ou x\,dx = \tfrac{1}{2}\,dt. Assim
v = \int \cos t\cdot \tfrac{1}{2}\,dt = \tfrac{1}{2}\sin t = \tfrac{1}{2}\sin\!\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 5

Aplicar a fórmula da integração por partes. Substituindo u, v e du em
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
obtemos
\int x^{3}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = x^{2}\cdot \tfrac{1}{2}\sin\!\bigl(x^{2}\bigr) - \int \tfrac{1}{2}\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x\,dx.
Simplificando o fator \tfrac{1}{2}\cdot 2 no segundo termo:
\int x^{3}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2}\sin\!\bigl(x^{2}\bigr) - \int x\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral restante \int x\sin(x^{2})\,dx. Usamos novamente a substituição t = x^{2}, dt = 2x\,dx, x\,dx = \tfrac{1}{2}\,dt. Então
\int x\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \tfrac{1}{2}\int \sin t\,dt = -\tfrac{1}{2}\cos t = -\tfrac{1}{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 7

Voltar para a expressão do Passo 5 e substituir o resultado do Passo 6:
\int x^{3}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2}\sin\!\bigl(x^{2}\bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\Bigr).
Portanto
\int x^{3}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2}\sin\!\bigl(x^{2}\bigr) + \tfrac{1}{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Checagem rápida (para ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada deve retornar o integrando. Seja
F(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)+\tfrac{1}{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr).
Usando regra do produto e cadeia ao derivar o primeiro termo e a regra da cadeia no segundo, obtém-se F'(x)=x^{3}\cos(x^{2}). Logo a primitiva está correta.

Resposta

\tfrac{1}{2}x^{2}\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)+\tfrac{1}{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)+C

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