Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral
usando o método de integração por partes. Informação dada: o integrando é
. A tarefa é encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função.
Passo 2
Lembrete didático: fórmula da integração por partes. Para funções
e
diferenciáveis, vale
Aqui
é a parte que escolhemos para diferenciar (gera
) e
é a parte que escolhemos para integrar (gera
). A ideia prática é escolher
de modo que
fique mais simples, e escolher
de modo que
seja fácil de calcular.
Passo 3
Escolha das partes. Observando
podemos escrever
Faz sentido tomar
porque
é um polinômio (fica mais simples ao derivar) e
tem a forma
, que integra bem por substituição.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivando :
Derivando
Para achar
precisamos integrar
:
Fazemos a substituição auxiliar
, então
ou
. Assim
Passo 5
Aplicar a fórmula da integração por partes. Substituindo
,
e
em
obtemos
Simplificando o fator
no segundo termo:
Passo 6
Calcular a integral restante
. Usamos novamente a substituição
,
,
. Então
Passo 7
Voltar para a expressão do Passo 5 e substituir o resultado do Passo 6:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Checagem rápida (para ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada deve retornar o integrando. Seja
Usando regra do produto e cadeia ao derivar o primeiro termo e a regra da cadeia no segundo, obtém-se
. Logo a primitiva está correta.