O Campo Magnético no centro de uma espira circular é dado por:
o primeiro termo é a contribuição do Campo Magnético de um fio infinito situado a uma distância R igual ao raio da espira circular e
corrente que percorre ambos condutores, o sentido de circulação da corrente fornece um Campo Magnético resultante que é soma vetorial das componentes individuais de cada condutor.
a) Explique como onde utilizar este Campo para obter o fluxo Magnético sobre uma bobina de prova colocada no ponto onde se conhece o campo Magnético.
b) Determine a expressão da f.e.m induzida
, numa bobina de prova, de N voltas, e área geométrica S , colocada no ponto onde conhece-se o campo Magnético.
c) Explique como determinar experimentalmente a área efetiva (NS) da bobina de prova.
d) A partir da força eletromotriz induzida é possível determina(avaliar) o módulo do Campo de Indução Magnética que dá origina esta força? Explique.
a) Explique como onde utilizar este Campo para obter o fluxo Magnético sobre uma bobina de prova colocada no ponto onde se conhece o campo Magnético.
b) Determine a expressão da f.e.m induzida
c) Explique como determinar experimentalmente a área efetiva (NS) da bobina de prova.
d) A partir da força eletromotriz induzida é possível determina(avaliar) o módulo do Campo de Indução Magnética que dá origina esta força? Explique.
Passo 1
Vou primeiro listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, para a gente se organizar (já peguei os dados do enunciado).
- Dado o campo magnético no centro da espira:
onde
é a corrente que percorre o fio infinito e também a espira;
é a distância/raio;
é um coeficiente geométrico (adimensional) para a contribuição da espira;
é a permeabilidade do vácuo.
- A corrente depende do tempo:
. O sentido das correntes faz com que os campos se somem vetorialmente no ponto considerado. - Há uma bobina de prova colocada nesse ponto: tem
voltas e área geométrica . O eixo (normal) da bobina forma um ângulo com o vetor (se não for informado, normalmente assumimos alinhamento ).
O enunciado pede:
(a) explicar como usar esse campo para obter o fluxo magnético sobre a bobina de prova;
(b) determinar a expressão da f.e.m. induzidana bobina (com e );
(c) explicar como determinar experimentalmente a área efetivada bobina de prova;
(d) dizer se, a partir da força eletromotriz induzida, é possível determinar o módulo do campo de indução magnética que deu origem a essa força, e explicar.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (aulas rápidas e sem pular passos).
- Fluxo magnético por uma superfície plana (uma volta da bobina): é o integral do produto escalar entre
e o elemento de área :
Aqui
, onde
é o vetor unitário normal à superfície e
a área local.
- Se
for aproximadamente uniforme sobre a área da bobina (condição prática: bobina pequena comparada à escala de variação do campo), a integral simplifica para
onde
é o módulo de
no ponto e
é o ângulo entre
e o normal da bobina;
é a área geométrica de uma volta.
- Fluxo ligado (fluxo total ligado às
voltas) é . - Lei de Faraday para a f.e.m. induzida numa bobina:
Esta fórmula é consequência da variação temporal do fluxo que atravessa a bobina. O sinal menos é a lei de Lenz (indica sentido da tensão induzida).
Passo 3
Aplicando o campo dado ao caso temporal: primeiro substituímos a corrente
na expressão de
.
- A expressão do módulo do campo (assumindo as contribuições somadas no mesmo sentido) é proporcional à corrente:
- Usando
obtemos
Expliquei cada termo:
constante;
varia no tempo; o parêntese é a soma das contribuições geométricas por unidade de corrente.
Passo 4
Calcular o fluxo por volta e o fluxo ligado total.
- Supondo campo aproximadamente uniforme sobre a área
e ângulo entre e o normal da bobina,
- Substituindo
da etapa anterior:
- Fluxo ligado (todas as voltas):
Passo 5
Aplicar Faraday para obter a f.e.m. induzida e desenvolver a derivada passo a passo.
- Lei de Faraday:
- Como só há variação temporal no fator
e o resto é constante, podemos derivar diretamente:
- Então
- Substituindo a derivada:
- Os sinais negativos se cancelam, ficando
- Esta é a expressão temporal da f.e.m. induzida. O valor máximo (amplitude) da f.e.m. é
Passo 6
Interpretação prática e casos especiais (ajuda para a prova).
- Se a bobina estiver alinhada com o campo,
e , fórmula simplifica. - Se o campo no ponto não for uniforme na área da bobina (bobina grande ou campo com gradiente), a aproximação
falha; então precisa usar e possivelmente definir uma área efetiva tal que . - Em problemas de prova, normalmente assume-se bobina pequena e campo uniforme para usar as fórmulas acima.
Passo 7
Como determinar experimentalmente a área efetiva
da bobina de prova (metodologia detalhada, passo a passo, para aplicar em laboratório).
Opção A — calibração com campo senoidal conhecido (método direto, mais usado):
Opção A — calibração com campo senoidal conhecido (método direto, mais usado):
- Montar uma fonte de campo calibrada e conhecida e uniforme no local da bobina, por exemplo um solenoide longo com densidade de espira
(espiras por metro) e corrente senoidal . O campo no interior do solenoide é aproximadamente uniforme:
- Colocar a bobina de prova no interior do solenoide, alinhada (
). - Medir a amplitude da tensão induzida
com um osciloscópio ou lock-in. - Como para esse campo senoidal vale
com , isolar :
- Dicas práticas: usar alta impedância de entrada no instrumento, medir a amplitude com cuidado (fazer média), usar frequência onde a resposta da bobina não é alterada por autoindutância/resistência.
Opção B — método por integração (se a fonte de campo não for senoidal, ou se só se conhece a corrente no condutor que gera o campo):
- Aplicar uma corrente conhecida
que gere um campo calculável no ponto (por exemplo, corrente controlada no fio/espira cujo B é dado). - Medir
e integrar no tempo:
- Se
e a geometria são conhecidas, comparar as amplitudes e obter ajustando:
Opção A é a mais simples e estável para laboratório.
Passo 8
Responder à pergunta (d): é possível determinar o módulo do campo a partir da f.e.m.? (explicação clara, com fórmulas e limites)
- Sim, é possível determinar o módulo ou amplitude do campo se certas condições forem atendidas:
- a área efetiva
da bobina (ou ) for conhecida (ou for calibrada); - o campo que incide na bobina for aproximadamente uniforme sobre a área da bobina;
- conhecer a dependência temporal do campo (por exemplo, senoidal com frequência
).
- a área efetiva
- Para o caso senoidal
e bobina alinhada ( ), a relação entre amplitude da f.e.m. e amplitude do campo é
Logo
- Para caso geral, se
é medida, pode-se recuperar por integração:
onde
é uma constante de integração que corresponde ao fluxo inicial (na prática usa-se sinais alternados e anula-se a constante por medidas AC ou por condicionamento de sinal).
- Limitações práticas e fontes de erro que a prova/experimento devem considerar:
- campo não uniforme → usar bobina pequena ou conhecer distribuição para calcular área efetiva;
- ruído e offsets de instrumentação → usar lock-in ou filtrar e fazer média;
- efeito da autoindutância e resistência da bobina em frequências altas → verificar regime onde a bobina responde linearmente;
- posição e orientação desajustada → medir
e incluir ; - se o campo é gerado por múltiplos condutores com fases diferentes, a decomposição pode exigir conhecimento de cada contribuição ou medição vetorial (não só módulo).
Em resumo: sim, é possível determinar o módulo do campo a partir da f.e.m., desde que a calibração e as condições físicas sejam controladas; caso contrário, há incertezas que precisam ser quantificadas.
Resposta
(a) A fluxa por uma volta é
, onde
; o fluxo ligado é
.
(b) A f.e.m. induzida geral é
com amplitude
(c) Experimentalmente, calibrar
medindo
numa fonte de campo senoidal e conhecida
(por ex. solenoide ou Helmholtz): usar
assumindo
. Procedimento: gerar
, medir
com osciloscópio/lock-in e aplicar a fórmula (ou integrar
para campos não senoidais).
(d) Sim: com
(e
) conhecidas e campo uniforme, para sinal senoidal
No caso geral recupera-se
por integração:
lembrando as limitações práticas (uniformidade do campo, calibração, ruído, efeitos de autoindutância, orientação).