O Campo Magnético no centro de uma espira circular é dado por: \boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}+\frac{M \mu_{0} I}{2 R} o primeiro termo é a contribuição do Campo Magnético de um fio infinito situado a uma distância R igual ao raio da espira circular e \mathrm{i}(\mathrm{t})=\mathrm{I}_{0} \cos (\mathrm{wt}) corrente que percorre ambos condutores, o sentido de circulação da corrente fornece um Campo Magnético resultante que é soma vetorial das componentes individuais de cada condutor.
a) Explique como onde utilizar este Campo para obter o fluxo Magnético sobre uma bobina de prova colocada no ponto onde se conhece o campo Magnético.
b) Determine a expressão da f.e.m induzida \varepsilon, numa bobina de prova, de N voltas, e área geométrica S , colocada no ponto onde conhece-se o campo Magnético.
c) Explique como determinar experimentalmente a área efetiva (NS) da bobina de prova.
d) A partir da força eletromotriz induzida é possível determina(avaliar) o módulo do Campo de Indução Magnética que dá origina esta força? Explique.

Passo 1

Vou primeiro listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, para a gente se organizar (já peguei os dados do enunciado).
  • Dado o campo magnético no centro da espira:
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I}{2\pi R}+\frac{M\mu_{0} I}{2R},
onde I é a corrente que percorre o fio infinito e também a espira; R é a distância/raio; M é um coeficiente geométrico (adimensional) para a contribuição da espira; \mu_0 é a permeabilidade do vácuo.
  • A corrente depende do tempo: i(t)=I_0\cos(\omega t). O sentido das correntes faz com que os campos se somem vetorialmente no ponto considerado.
  • Há uma bobina de prova colocada nesse ponto: tem N voltas e área geométrica S. O eixo (normal) da bobina forma um ângulo \theta com o vetor \mathbf{B} (se não for informado, normalmente assumimos alinhamento \theta=0).
    O enunciado pede:
    (a) explicar como usar esse campo para obter o fluxo magnético sobre a bobina de prova;
    (b) determinar a expressão da f.e.m. induzida \varepsilon na bobina (com N e S);
    (c) explicar como determinar experimentalmente a área efetiva N S da bobina de prova;
    (d) dizer se, a partir da força eletromotriz induzida, é possível determinar o módulo do campo de indução magnética que deu origem a essa força, e explicar.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (aulas rápidas e sem pular passos).
  • Fluxo magnético por uma superfície plana (uma volta da bobina): é o integral do produto escalar entre \mathbf{B} e o elemento de área d\mathbf{A}:
\Phi=\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
Aqui d\mathbf{A}=\hat{n}\,dA, onde \hat{n} é o vetor unitário normal à superfície e A a área local.
  • Se \mathbf{B} for aproximadamente uniforme sobre a área da bobina (condição prática: bobina pequena comparada à escala de variação do campo), a integral simplifica para
\Phi = B\,S\cos\theta,
onde B é o módulo de \mathbf{B} no ponto e \theta é o ângulo entre \mathbf{B} e o normal da bobina; S é a área geométrica de uma volta.
  • Fluxo ligado (fluxo total ligado às N voltas) é \Lambda=N\Phi.
  • Lei de Faraday para a f.e.m. induzida numa bobina:
\varepsilon = -\frac{d\Lambda}{dt} = -N\frac{d\Phi}{dt}.
Esta fórmula é consequência da variação temporal do fluxo que atravessa a bobina. O sinal menos é a lei de Lenz (indica sentido da tensão induzida).

Passo 3

Aplicando o campo dado ao caso temporal: primeiro substituímos a corrente i(t) na expressão de \mathbf{B}.
  • A expressão do módulo do campo (assumindo as contribuições somadas no mesmo sentido) é proporcional à corrente:
B(t)=\mu_0\,i(t)\left(\frac{1}{2\pi R}+\frac{M}{2R}\right).
  • Usando i(t)=I_0\cos(\omega t) obtemos
B(t)=\mu_0 I_0\cos(\omega t)\left(\frac{1}{2\pi R}+\frac{M}{2R}\right).
Expliquei cada termo: \mu_0 constante; I_0\cos(\omega t) varia no tempo; o parêntese é a soma das contribuições geométricas por unidade de corrente.

Passo 4

Calcular o fluxo por volta e o fluxo ligado total.
  • Supondo campo aproximadamente uniforme sobre a área S e ângulo \theta entre \mathbf{B} e o normal da bobina,
\Phi(t)=B(t)\,S\cos\theta.
  • Substituindo B(t) da etapa anterior:
\Phi(t)=\mu_0 I_0\cos(\omega t)\left(\frac{1}{2\pi R}+\frac{M}{2R}\right)S\cos\theta.
  • Fluxo ligado (todas as voltas):
\Lambda(t)=N\Phi(t)=\mu_0 N S I_0\cos(\omega t)\left(\frac{1}{2\pi R}+\frac{M}{2R}\right)\cos\theta.

Passo 5

Aplicar Faraday para obter a f.e.m. induzida e desenvolver a derivada passo a passo.
  • Lei de Faraday:
\varepsilon(t)=-\frac{d\Lambda}{dt}.
  • Como só há variação temporal no fator \cos(\omega t) e o resto é constante, podemos derivar diretamente:
\frac{d}{dt}\big(\cos(\omega t)\big)=-\omega\sin(\omega t).
  • Então
\varepsilon(t)=-\mu_0 N S I_0\left(\frac{1}{2\pi R}+\frac{M}{2R}\right)\cos\theta\;\frac{d}{dt}\big(\cos(\omega t)\big).
  • Substituindo a derivada:
\varepsilon(t)=-\mu_0 N S I_0\left(\frac{1}{2\pi R}+\frac{M}{2R}\right)\cos\theta\;(-\omega\sin(\omega t)).
  • Os sinais negativos se cancelam, ficando
\varepsilon(t)=\mu_0 N S I_0\omega\left(\frac{1}{2\pi R}+\frac{M}{2R}\right)\cos\theta\;\sin(\omega t).
  • Esta é a expressão temporal da f.e.m. induzida. O valor máximo (amplitude) da f.e.m. é
\varepsilon_{\max}=\mu_0 N S I_0\omega\left(\frac{1}{2\pi R}+\frac{M}{2R}\right)\cos\theta.

Passo 6

Interpretação prática e casos especiais (ajuda para a prova).
  • Se a bobina estiver alinhada com o campo, \theta=0 e \cos\theta=1, fórmula simplifica.
  • Se o campo no ponto não for uniforme na área da bobina (bobina grande ou campo com gradiente), a aproximação \Phi=B S falha; então precisa usar \Phi=\int B(\mathbf{r})\cos\theta(\mathbf{r})\,dA e possivelmente definir uma área efetiva S_{\text{ef}} tal que \Phi\approx B_{\text{centro}}S_{\text{ef}}.
  • Em problemas de prova, normalmente assume-se bobina pequena e campo uniforme para usar as fórmulas acima.

Passo 7

Como determinar experimentalmente a área efetiva N S da bobina de prova (metodologia detalhada, passo a passo, para aplicar em laboratório).
Opção A — calibração com campo senoidal conhecido (método direto, mais usado):
  1. Montar uma fonte de campo calibrada e conhecida e uniforme no local da bobina, por exemplo um solenoide longo com densidade de espira n_s (espiras por metro) e corrente senoidal I_s(t)=I_{s0}\cos(\omega t). O campo no interior do solenoide é aproximadamente uniforme:
B_{\text{sol}}(t)=\mu_0 n_s I_{s0}\cos(\omega t).
  1. Colocar a bobina de prova no interior do solenoide, alinhada ( \theta=0).
  2. Medir a amplitude da tensão induzida \varepsilon_{\max} com um osciloscópio ou lock-in.
  3. Como para esse campo senoidal vale \varepsilon_{\max}=N S B_{0}\omega com B_0=\mu_0 n_s I_{s0}, isolar N S:
N S=\frac{\varepsilon_{\max}}{B_0\omega}=\frac{\varepsilon_{\max}}{\mu_0 n_s I_{s0}\omega}.
  1. Dicas práticas: usar alta impedância de entrada no instrumento, medir a amplitude com cuidado (fazer média), usar frequência onde a resposta da bobina não é alterada por autoindutância/resistência.
Opção B — método por integração (se a fonte de campo não for senoidal, ou se só se conhece a corrente no condutor que gera o campo):
  1. Aplicar uma corrente conhecida i(t) que gere um campo calculável B(t) no ponto (por exemplo, corrente controlada no fio/espira cujo B é dado).
  2. Medir \varepsilon(t) e integrar no tempo:
-\int \varepsilon(t)\,dt = \Lambda(t)+C = N\Phi(t)+C.
  1. Se B(t) e a geometria são conhecidas, comparar as amplitudes e obter N S ajustando:
N S = -\frac{1}{B_{\text{ref}}(t)\cos\theta}\frac{1}{N}\int \varepsilon(t)\,dt\quad\text{(arranjar para isolar \(NS\)).}
Opção A é a mais simples e estável para laboratório.

Passo 8

Responder à pergunta (d): é possível determinar o módulo do campo a partir da f.e.m.? (explicação clara, com fórmulas e limites)
  • Sim, é possível determinar o módulo ou amplitude do campo se certas condições forem atendidas:
    • a área efetiva N S da bobina (ou N S\cos\theta) for conhecida (ou for calibrada);
    • o campo que incide na bobina for aproximadamente uniforme sobre a área da bobina;
    • conhecer a dependência temporal do campo (por exemplo, senoidal com frequência \omega).
  • Para o caso senoidal B(t)=B_0\cos(\omega t) e bobina alinhada ( \cos\theta=1), a relação entre amplitude da f.e.m. e amplitude do campo é
\varepsilon_{\max}=N S B_0\omega.
Logo
B_0=\frac{\varepsilon_{\max}}{N S\omega}.
  • Para caso geral, se \varepsilon(t) é medida, pode-se recuperar B(t) por integração:
B(t)=-\frac{1}{N S\cos\theta}\int \varepsilon(t)\,dt + C,
onde C é uma constante de integração que corresponde ao fluxo inicial (na prática usa-se sinais alternados e anula-se a constante por medidas AC ou por condicionamento de sinal).
  • Limitações práticas e fontes de erro que a prova/experimento devem considerar:
    • campo não uniforme → usar bobina pequena ou conhecer distribuição para calcular área efetiva;
    • ruído e offsets de instrumentação → usar lock-in ou filtrar e fazer média;
    • efeito da autoindutância e resistência da bobina em frequências altas → verificar regime onde a bobina responde linearmente;
    • posição e orientação desajustada → medir \theta e incluir \cos\theta;
    • se o campo é gerado por múltiplos condutores com fases diferentes, a decomposição pode exigir conhecimento de cada contribuição ou medição vetorial (não só módulo).
      Em resumo: sim, é possível determinar o módulo do campo a partir da f.e.m., desde que a calibração e as condições físicas sejam controladas; caso contrário, há incertezas que precisam ser quantificadas.

Resposta

(a) A fluxa por uma volta é \Phi(t)=B(t)S\cos\theta, onde B(t)=\mu_0 I_0\cos(\omega t)\!\left(\dfrac{1}{2\pi R}+\dfrac{M}{2R}\right); o fluxo ligado é \Lambda(t)=N\Phi(t).
(b) A f.e.m. induzida geral é
\varepsilon(t)=-N\frac{d\Phi}{dt}=\mu_0 N S I_0\omega\left(\frac{1}{2\pi R}+\frac{M}{2R}\right)\cos\theta\;\sin(\omega t),
com amplitude
\varepsilon_{\max}=\mu_0 N S I_0\omega\left(\frac{1}{2\pi R}+\frac{M}{2R}\right)\cos\theta.
(c) Experimentalmente, calibrar N S medindo \varepsilon_{\max} numa fonte de campo senoidal e conhecida B_0 (por ex. solenoide ou Helmholtz): usar
N S=\frac{\varepsilon_{\max}}{B_0\omega},
assumindo \theta=0. Procedimento: gerar B(t)=B_0\cos(\omega t), medir \varepsilon_{\max} com osciloscópio/lock-in e aplicar a fórmula (ou integrar \varepsilon para campos não senoidais).
(d) Sim: com N S (e \theta) conhecidas e campo uniforme, para sinal senoidal
B_0=\frac{\varepsilon_{\max}}{N S\omega}.
No caso geral recupera-se B(t) por integração:
B(t)=-\frac{1}{N S\cos\theta}\int \varepsilon(t)\,dt + C,
lembrando as limitações práticas (uniformidade do campo, calibração, ruído, efeitos de autoindutância, orientação).

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