(Integrais Impróprias)
\int_{0}^{16} \frac{d x}{\sqrt[4]{x}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\displaystyle \int_{0}^{16} \frac{dx}{\sqrt[4]{x}}.
O conteúdo envolve integrais impróprias de primeira espécie e antiderivadas de potências.

Passo 2

Analisamos a região crítica em x=0. A função é
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{x}} = x^{-1/4}.
Como o expoente -\tfrac{1}{4} satisfaz -\tfrac{1}{4} > -1, a integral converge perto de zero (critério de p-integral).

Passo 3

Calculamos a antiderivada de x^{-1/4} usando a regra de potência:
\int x^{-1/4}\,dx = \frac{x^{-1/4 + 1}}{-1/4 + 1} = \frac{x^{3/4}}{\tfrac{3}{4}} = \frac{4}{3}\,x^{3/4}.

Passo 4

Agora avaliamos o resultado entre 0 e 16:
\left.\frac{4}{3}\,x^{3/4}\right|_{0}^{16} = \frac{4}{3}\bigl(16^{3/4} - 0^{3/4}\bigr) = \frac{4}{3}\cdot 8 = \frac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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