Integrais por Partes: Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede-se calcular a integral
- O enunciado sugere usar integração por partes com
- Não há outras informações externas; a constante de integração aparecerá no final.
Passo 2
Lembrete da fórmula de integração por partes e interpretação das letras.
- A fórmula de integração por partes é
Aqui
é uma função que escolhemos e
é o resto do integrando que conseguimos integrar para obter
. As notações significam:
-
é a função a ser diferenciada: é sua diferencial. -
é a parte que vamos integrar para obter . -
Pelo enunciado tomamos
Agora precisamos calcular
. Vou fazer isso com uma substituição simples.
Passo 3
Calcular
por substituição.
- Faça a substituição
. Então , logo . - Assim
- Integral de
é . Logo
(Quando calculamos
numa integração por partes podemos omitir a constante de integração aqui — ela aparece só no resultado final.)
Portanto
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes.
- Aplique
Com
,
e
obtemos
- Simplificando os sinais:
Passo 5
Calcular a integral que sobrou e juntar tudo.
- A integral conhecida é a da função arctangente:
- Substituindo:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Cheque rápido (derivação para verificar).
- Derivando
obtém-se
o que confirma que a primitiva está correta (detalhes do cálculo da derivada podem ser feitos com regra do quociente e derivada da arctan).