Integrais por Partes: Resolva as integrais abaixo.
\int \frac{\mathrm{x}^{2}}{\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)^{2}} \mathrm{dx} ;\left(\mathrm{u}=\mathrm{x} ; \mathrm{dv}=\frac{\mathrm{xdx}}{\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)^{2}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede-se calcular a integral
\int \frac{\mathrm{x}^{2}}{\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)^{2}}\,\mathrm{dx}.
  • O enunciado sugere usar integração por partes com
u=\mathrm{x},\qquad \mathrm{dv}=\frac{\mathrm{x}\,\mathrm{dx}}{\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)^{2}}.
  • Não há outras informações externas; a constante de integração aparecerá no final.

Passo 2

Lembrete da fórmula de integração por partes e interpretação das letras.
  • A fórmula de integração por partes é
\int u\,\mathrm{dv}=u v-\int v\,\mathrm{d}u.
Aqui u é uma função que escolhemos e \mathrm{dv} é o resto do integrando que conseguimos integrar para obter v. As notações significam:
  • u é a função a ser diferenciada: \mathrm{d}u é sua diferencial.
  • \mathrm{dv} é a parte que vamos integrar para obter v.
  • Pelo enunciado tomamos
u=\mathrm{x}\quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}u=\mathrm{dx}, \qquad \mathrm{dv}=\frac{\mathrm{x}\,\mathrm{dx}}{\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)^{2}}.
Agora precisamos calcular v=\displaystyle\int \mathrm{dv}=\int \frac{\mathrm{x}\,\mathrm{dx}}{\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)^{2}}. Vou fazer isso com uma substituição simples.

Passo 3

Calcular v por substituição.
  • Faça a substituição \;t=1+\mathrm{x}^{2}\;. Então \mathrm{d}t=2\mathrm{x}\,\mathrm{dx}, logo \mathrm{x}\,\mathrm{dx}=\dfrac{1}{2}\mathrm{d}t.
  • Assim
v=\int \frac{\mathrm{x}\,\mathrm{dx}}{(1+\mathrm{x}^{2})^{2}}=\int \frac{\tfrac{1}{2}\mathrm{d}t}{t^{2}} =\frac{1}{2}\int t^{-2}\mathrm{d}t.
  • Integral de t^{-2} é -t^{-1}. Logo
v=\frac{1}{2}\left(-t^{-1}\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\mathrm{x}^{2}}.
(Quando calculamos v numa integração por partes podemos omitir a constante de integração aqui — ela aparece só no resultado final.)
Portanto
v=-\frac{1}{2(1+\mathrm{x}^{2})}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes.
  • Aplique
\int u\,\mathrm{dv}=u v-\int v\,\mathrm{d}u.
Com u=\mathrm{x}, \mathrm{d}u=\mathrm{dx} e v=-\dfrac{1}{2(1+\mathrm{x}^{2})} obtemos
\int \frac{\mathrm{x}^{2}}{(1+\mathrm{x}^{2})^{2}}\,\mathrm{dx} = \mathrm{x}\cdot\left(-\frac{1}{2(1+\mathrm{x}^{2})}\right) -\int \left(-\frac{1}{2(1+\mathrm{x}^{2})}\right)\mathrm{dx}.
  • Simplificando os sinais:
\int \frac{\mathrm{x}^{2}}{(1+\mathrm{x}^{2})^{2}}\,\mathrm{dx} =-\frac{\mathrm{x}}{2(1+\mathrm{x}^{2})}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+\mathrm{x}^{2}}\,\mathrm{dx}.

Passo 5

Calcular a integral que sobrou e juntar tudo.
  • A integral conhecida é a da função arctangente:
\int \frac{1}{1+\mathrm{x}^{2}}\,\mathrm{dx}=\arctan(\mathrm{x}).
  • Substituindo:
\int \frac{\mathrm{x}^{2}}{(1+\mathrm{x}^{2})^{2}}\,\mathrm{dx} =-\frac{\mathrm{x}}{2(1+\mathrm{x}^{2})}+\frac{1}{2}\arctan(\mathrm{x})+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Cheque rápido (derivação para verificar).
  • Derivando F(\mathrm{x})=-\dfrac{\mathrm{x}}{2(1+\mathrm{x}^{2})}+\dfrac{1}{2}\arctan(\mathrm{x}) obtém-se
F'(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}^{2}}{(1+\mathrm{x}^{2})^{2}},
o que confirma que a primitiva está correta (detalhes do cálculo da derivada podem ser feitos com regra do quociente e derivada da arctan).

Resposta

-\frac{\mathrm{x}}{2(1+\mathrm{x}^{2})}+\frac{1}{2}\arctan(\mathrm{x})+C

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