integral 2x^2+5 d x=

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2x^2+5 dx. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula básica da integral que envolve a função inversa da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da nossa função. Temos 2x^2+5, que se parece com 1x^2+a^2. Sabemos que a integral de 1x^2+a^2 em relação a x é 1a tan^-1(xa) + C, onde C é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, o denominador é x^2 + 5, então comparando com x^2 + a^2, vemos que a^2 = 5. Portanto, a = raiz5.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integral. Mas antes, note que temos um fator de 2 na frente da fração. Podemos tirar esse 2 para fora da integral:
integral 2x^2+5 dx = 2 integral 1x^2+5 dx

Passo 5

Aplicando a fórmula da integral:
2 integral 1x^2+5 dx = 2 ( 1raiz5 tan^-1(xraiz5) ) + C

Passo 6

Simplificando a expressão:
2 cdot 1raiz5 = 2raiz5
Portanto, a integral fica:
2raiz5 tan^-1(xraiz5) + C

Resposta

integral 2x^2+5 dx = 2raiz5 tan^-1(xraiz5) + C

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