integral 2 cos x sin ^3 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 2 cos x sin^3 x , dx. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente da integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que na integral temos um produto de cos x e sin^3 x. Isso sugere que podemos usar uma substituição onde uma parte da função é a derivada da outra. Vamos definir uma nova variável para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos definir u = sin x. Assim, a derivada de u em relação a x é du/dx = cos x, ou seja, du = cos x , dx. Isso simplifica nossa integral porque temos cos x , dx na expressão original.

Passo 4

Substituindo u = sin x e du = cos x , dx na integral original, obtemos:
integral 2 cos x sin^3 x , dx = integral 2 u^3 , du

Passo 5

Agora, precisamos integrar 2 u^3. Para isso, usamos a regra de potência da integração, que diz que integral u^n , du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra de potência, temos:
integral 2 u^3 , du = 2 cdot u^44 + C = 24 u^4 + C = 12 u^4 + C

Passo 7

Agora, substituímos u de volta por sin x para retornar à variável original:
12 u^4 + C = 12 sin^4 x + C

Resposta

A integral integral 2 cos x sin^3 x , dx é igual a 12 sin^4 x + C, onde C é a constante de integração.
boxed12 sin^4 x + C

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