integral x^2e^x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2e^x^3 , dx. Aqui, estamos lidando com uma função que envolve uma potência de x dividida por uma exponencial. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a expressão para algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável para facilitar a integração. Observando x^2e^x^3, percebemos que o expoente x^3 na base e é um bom candidato para substituição.
Vamos definir:
u = x^3
Assim, estamos escolhendo u como o expoente de e para simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral.
Derivando u = x^3 em relação a x:
dudx = 3x^2
Isso significa que:
du = 3x^2 , dx
Ou, rearranjando para encontrar x^2 , dx:
x^2 , dx = du3

Passo 4

Vamos substituir u e x^2 , dx na integral original:
integral x^2e^x^3 , dx = integral 1e^u cdot du3
Simplificando a expressão:
= 13 integral e^-u , du

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
13 integral e^-u , du
A integral de e^-u em relação a u é:
integral e^-u , du = -e^-u + C
Então, substituindo de volta:
13 cdot (-e^-u) + C = -13 e^-u + C

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição u = x^3, precisamos substituir u de volta para expressar a resposta em termos de x:
-13 e^-x^3 + C

Resposta

A integral integral x^2e^x^3 , dx é igual a -13 e^-x^3 + C, onde C é a constante de integração.
integral x^2e^x^3 , dx = -13 e^-x^3 + C

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