integral 2 x^3 e^x^4 d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa resolver a integral integral 2 x^3 e^x^4 d x. Isso faz parte do cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da integral que, ao substituir por uma variável nova, facilite a resolução.

Passo 2

Vamos olhar para a parte de e^x^4. O expoente aí é x^4, e percebemos que temos um x^3 multiplicando. Isso sugere que talvez uma substituição envolvendo x^4 possa funcionar bem.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para simplificar. Seja u = x^4. Agora, precisamos achar a derivada de u em relação a x para ver como fica dx na expressão.

Passo 4

Calculando a derivada: du/dx = 4x^3. Isso significa que du = 4x^3 dx. Mas na nossa integral temos 2x^3 dx, então vamos ajustar isso:
2x^3 dx = 24 du = 12 du

Passo 5

Agora, substituímos u e du na integral original:
integral 2x^3 e^x^4 dx = integral e^u cdot 12 du = 12 integral e^u du

Passo 6

A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u. Então temos:
12 integral e^u du = 12 e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para x:
12 e^u + C = 12 e^x^4 + C

Resposta

A integral integral 2 x^3 e^x^4 d x é igual a 12 e^x^4 + C, onde C é a constante de integração.

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