Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão pede: temos que calcular a integral de $ \frac{1}{5 - 3x + x^{2}} $ em relação a $ x $. Isso envolve uma integral de uma fração racional, e para resolver vamos precisar completar o quadrado no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador para facilitar a integral. O denominador é $ x^{2} - 3x + 5 $. Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de $ x $, que é $ -\frac{3}{2} $, e elevamos ao quadrado: $ \left(-\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4} $.
Passo 3
Agora, adicionamos e subtraímos esse valor no denominador:
Passo 4
Substituímos o denominador na integral:
Passo 5
Reconhecemos que essa é a forma da integral $ \int \frac{du}{a^{2} + u^{2}} $, cuja antiderivada é $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C $. Aqui, $ a = \frac{\sqrt{11}}{2} $ e $ u = x - \frac{3}{2} $.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Resposta
A integral é igual a $ \frac{2}{\sqrt{11}} \arctan\left(\frac{2x - 3}{\sqrt{11}}\right) + C $.