integral d x5-3 x+x^2

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede: temos que calcular a integral de $ \frac{1}{5 - 3x + x^{2}} $ em relação a $ x $. Isso envolve uma integral de uma fração racional, e para resolver vamos precisar completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador para facilitar a integral. O denominador é $ x^{2} - 3x + 5 $. Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de $ x $, que é $ -\frac{3}{2} $, e elevamos ao quadrado: $ \left(-\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4} $.

Passo 3

Agora, adicionamos e subtraímos esse valor no denominador:
x^2 - 3x + 5 = (x^2 - 3x + 94) + 5 - 94 = (x - 32)^2 + 114

Passo 4

Substituímos o denominador na integral:
integral dx(x - 32)^2 + (raiz112)^2

Passo 5

Reconhecemos que essa é a forma da integral $ \int \frac{du}{a^{2} + u^{2}} $, cuja antiderivada é $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C $. Aqui, $ a = \frac{\sqrt{11}}{2} $ e $ u = x - \frac{3}{2} $.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
2raiz11 arctan(2(x - 32)raiz11) + C

Resposta

A integral é igual a $ \frac{2}{\sqrt{11}} \arctan\left(\frac{2x - 3}{\sqrt{11}}\right) + C $.

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