Exercício 2-Calcule as integrais abaixo:
integral duplaD(x+3 y) d A, D=(x, y) ; 0 <= x <= 1, 2 <= y <= 5 x.

Passo 1

Estamos calculando a integral dupla integral duplaD (x+3y),dA sobre o domínio definido por 0<= x<=1 e 2<= y<=5x. O conteúdo é integração dupla (Teorema de Fubini) em uma região tipo I, onde fazemos a integral primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Para cada x entre 0 e 1, o limite 2<= y<=5x só faz sentido se 5x>=2, ou seja x>=2/5. Para 0<= x<2/5 não há pontos de D. Logo a integral reduz-se a x variando de 2/5 até 1.

Passo 3

Montamos a integral iterada:
integral duplaD (x+3y),dA = integralx=2/5^1 l(integraly=2^5x (x+3y),dyr)dx

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
integral2^5x(x+3y),dy = integral2^5xx,dy + integral2^5x3y,dy = x,y|2^5x + tfrac32y^2|2^5x
Substituindo os limites:
x(5x - 2) + tfrac32l((5x)^2 - 2^2r) = 5x^2 - 2x + tfrac32(25x^2 - 4) = 852x^2 - 2x - 6

Passo 5

A integral externa fica
integral2/5^1 l(tfrac852x^2 - 2x - 6r) dx
Encontramos a antiderivada:
integral l(tfrac852x^2 - 2x - 6r)dx = tfrac852cdotx^33 - x^2 - 6x = tfrac856x^3 - x^2 - 6x

Passo 6

Avaliamos de x=2/5 até x=1:
Para x=1: tfrac856 - 1 - 6 = tfrac436.
Para x=2/5:
tfrac856l(tfrac25r)^3 - l(tfrac25r)^2 - 6cdottfrac25 = tfrac6875 - tfrac425 - tfrac125 = -tfrac12475
Subtraindo,
tfrac436 - l(-tfrac12475r) = tfrac436 + tfrac12475 = tfrac44150

Resposta

dfrac44150

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