O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde é a parte do cone compreendida entre os planos e . O conteúdo é integral de superfície de uma superfície parametrizada e vamos precisar parametrizar o cone, obter o elemento de área e depois integrar em coordenadas adequadas.
Passo 2
Para parametrizar o cone é natural usar coordenadas cilíndricas, mas observando que no cone. Então podemos escolher como parâmetros e e definir
Passo 3
Precisamos do elemento de área . Calculando as derivadas parciais:
O módulo do produto vetorial é
então
dS = zraiz2,dtheta,dz
Passo 4
O integrando é z^2, então o integral fica
integral duplasigmaz^2,dS=integraltheta=0^2piintegralz=1^4z^2l(zraiz2r),dz,dtheta =raiz2integral0^2pidthetaintegral1^4z^3,dz