integral duplasigma z^2 d S, onde sigma é a porção do cone z=raizx^2+y^2 entre os planos z=1 e z=4.
f. 255 pi2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplasigma z^2,dS, onde sigma é a parte do cone z=raizx^2+y^2 compreendida entre os planos z=1 e z=4. O conteúdo é integral de superfície de uma superfície parametrizada e vamos precisar parametrizar o cone, obter o elemento de área dS e depois integrar em coordenadas adequadas.

Passo 2

Para parametrizar o cone é natural usar coordenadas cilíndricas, mas observando que z=r no cone. Então podemos escolher como parâmetros zin[1,4] e thetain[0,2pi] e definir
R(z,theta)=l(zcostheta,,zsintheta,,zr)

Passo 3

Precisamos do elemento de área dS. Calculando as derivadas parciais:
Rz=(costheta,,sintheta,,1),
Rtheta=(-zsintheta,,zcostheta,,0)
O módulo do produto vetorial é
llVertRztimesRthetarrVert =zraiz2,
então
dS = zraiz2,dtheta,dz

Passo 4

O integrando é z^2, então o integral fica
integral duplasigmaz^2,dS=integraltheta=0^2piintegralz=1^4z^2l(zraiz2r),dz,dtheta =raiz2integral0^2pidthetaintegral1^4z^3,dz

Passo 5

Calculando a parte em z:
integral1^4z^3,dz=l[z^44r]1^4=4^4-1^44=256-14=2554
Multiplicando por raiz2 e pela integral angular:
raiz2cdot2picdot2554=255raiz22,pi

Resposta

255raiz2,pi2

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