Questāo 1
Considere o sólido
, situado no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados, o plano
e o cilindro parabólico
. Expresse (sem calcular) o volume de
como uma integral dupla iterada em coordenadas cartesianas.
Considere o sólido
Passo 1
O que o enunciado pede: expressar (sem calcular) o volume do sólido
como uma integral dupla iterada em coordenadas cartesianas.
Informações dadas (listei exatamente o que o enunciado nos forneceu):
- O sólido
está no primeiro octante, logo , , . -
é limitado pelo plano . -
é limitado pelo cilindro parabólico dado por , isto é, pela superfície . - O enunciado pede só a expressão do volume como integral dupla (não calcular o valor).
Observação sobre a imagem: peguei da imagem que há um esboço no primeiro quadrante com a reta
delimitando a região projetada no plano
.
Passo 2
Ideia geral (fórmula que vamos usar): para um sólido delimitado por cima por
e por baixo por
, o volume é dado por
onde
é a projeção de
no plano
. Aqui cada símbolo significa:
-
é o volume que queremos; -
é o sólido tridimensional dado no enunciado; -
é o subconjunto do plano que corresponde à projeção vertical de ; -
é o elemento de área no plano (ou seja, ou ); -
é a altura vertical do sólido sobre o ponto .
Passo 3
Determinar
e
para cada
:
- A superfície superior é o paraboloide dado por
. Então . - A face inferior, por estar no primeiro octante, é o plano
. Então .
Logo a altura é(sempre que ).
Passo 4
Determinar a região de projeção
no plano
:
- Pelo primeiro octante:
, . - Há ainda a restrição geométrica
está à esquerda/à direita do plano ; como o sólido é limitado por esse plano, a projeção fica entre e . - Finalmente, para existir ponto do sólido com
precisamos de , ou seja . Como , obtemos .
Portanto uma descrição conveniente de
é
(Nota: também é possível descrever
pela outra ordem de integração:
e
.)
Passo 5
Montar a integral dupla iterada. Usando a ordem
(primeiro integrar em
, depois em
), o volume é
Explicando os limites: para cada
fixo em
,
vai de
até
; a função integrada é a altura
.
Passo 6
Alternativa com a outra ordem (apenas para referência; também está correta e pode ser útil em prova):
Aqui para cada
o
varia de
até
.
Passo 7
Resumo final: já temos a expressão do volume como integral dupla iterada (não calculada), em pelo menos duas ordens possíveis. Vai dar certo na prova — foco na montagem correta da região
e na altura
. Força aí, tá indo bem!