Questāo 1
Considere o sólido S, situado no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados, o plano y=2 x e o cilindro parabólico z+x^{2}=4. Expresse (sem calcular) o volume de S como uma integral dupla iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O que o enunciado pede: expressar (sem calcular) o volume do sólido S como uma integral dupla iterada em coordenadas cartesianas.
Informações dadas (listei exatamente o que o enunciado nos forneceu):
  • O sólido S está no primeiro octante, logo x\ge0, y\ge0, z\ge0.
  • S é limitado pelo plano y=2x.
  • S é limitado pelo cilindro parabólico dado por z + x^{2}=4, isto é, pela superfície z=4-x^{2}.
  • O enunciado pede só a expressão do volume como integral dupla (não calcular o valor).
Observação sobre a imagem: peguei da imagem que há um esboço no primeiro quadrante com a reta y=2x delimitando a região projetada no plano xy.

Passo 2

Ideia geral (fórmula que vamos usar): para um sólido delimitado por cima por z=z_{\text{top}}(x,y) e por baixo por z=z_{\text{bot}}(x,y), o volume é dado por
V=\iiint_{S} dV=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA,
onde D é a projeção de S no plano xy. Aqui cada símbolo significa:
  • V é o volume que queremos;
  • S é o sólido tridimensional dado no enunciado;
  • D é o subconjunto do plano xy que corresponde à projeção vertical de S;
  • dA é o elemento de área no plano xy (ou seja, dA=dx\,dy ou dy\,dx);
  • z_{\text{top}}-z_{\text{bot}} é a altura vertical do sólido sobre o ponto (x,y)\in D.

Passo 3

Determinar z_{\text{top}} e z_{\text{bot}} para cada (x,y)\in D:
  • A superfície superior é o paraboloide dado por z=4-x^{2}. Então z_{\text{top}}(x,y)=4-x^{2}.
  • A face inferior, por estar no primeiro octante, é o plano z=0. Então z_{\text{bot}}(x,y)=0.
    Logo a altura é 4-x^{2} (sempre que 4-x^{2}\ge0).

Passo 4

Determinar a região de projeção D no plano xy:
  • Pelo primeiro octante: x\ge0, y\ge0.
  • Há ainda a restrição geométrica y está à esquerda/à direita do plano y=2x; como o sólido é limitado por esse plano, a projeção fica entre y=0 e y=2x.
  • Finalmente, para existir ponto do sólido com z\ge0 precisamos de 4-x^{2}\ge0, ou seja x^{2}\le4. Como x\ge0, obtemos 0\le x\le 2.
Portanto uma descrição conveniente de D é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\; 0\le y\le 2x\}.
(Nota: também é possível descrever D pela outra ordem de integração: 0\le y\le 4 e 0\le x\le y/2.)

Passo 5

Montar a integral dupla iterada. Usando a ordem dy\,dx (primeiro integrar em y, depois em x), o volume é
V=\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{2x}\bigl(4-x^{2}\bigr)\,dy\,dx.
Explicando os limites: para cada x fixo em [0,2], y vai de 0 até 2x; a função integrada é a altura 4-x^{2}.

Passo 6

Alternativa com a outra ordem (apenas para referência; também está correta e pode ser útil em prova):
V=\int_{y=0}^{4}\!\int_{x=0}^{y/2}\bigl(4-x^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Aqui para cada y\in[0,4] o x varia de 0 até y/2.

Passo 7

Resumo final: já temos a expressão do volume como integral dupla iterada (não calculada), em pelo menos duas ordens possíveis. Vai dar certo na prova — foco na montagem correta da região D e na altura z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}. Força aí, tá indo bem!

Resposta

V=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2x}\bigl(4-x^{2}\bigr)\,dy\,dx
V=\int_{y=0}^{4}\int_{x=0}^{y/2}\bigl(4-x^{2}\bigr)\,dx\,dy

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