A Integral de
em
Objetivo: Este teste irá guiá-lo no cálculo de integrais definidas em um intervalo genérico
Considere a função
no intervalo fechado
. Defina uma partição regular
do intervalo
, onde:
a) Sendo
uma função estritamente crescente, identifique onde a função atinge o seu ínfimo (
) e o seu supremo (
) no subintervalo genérico [
]. Escreva as expressões para
e
em função de
e
.
b) A Soma Inferior de Darboux é dada por
e a Soma Superior por
. Substitua os valores encontrados e desenvolva as expressões para
e
, separando os somatórios.
c) Usando as fórmulas úteis fornecidas no início do teste, calcule os limites
e
. Conclua o valor de
.
Fórmulas Úteis (Somas):
- Soma de uma constante
- Soma dos
primeiros inteiros:
- Soma dos quadrados dos
primeiros inteiros:
b) A Soma Inferior de Darboux é dada por
c) Usando as fórmulas úteis fornecidas no início do teste, calcule os limites
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados importantes:
- Função
no intervalo fechado . - Partição regular
com
- A largura de cada subintervalo é
- Foi dito que
é estritamente crescente.
O enunciado pede:
(a) para o subintervalo genérico , indicar onde ocorre o ínfimo
e o supremo
e escrever
e
em função de
;
(a) para o subintervalo genérico
(b) substituir esses
e
nas somas de Darboux
desenvolver as expressões e separar os somatórios;
(c) calcular
e
usando as fórmulas de soma dadas e concluir o valor de
.
Passo 2
Entendendo onde estão
e
num subintervalo: como
é estritamente crescente, em qualquer intervalo
o menor valor (ínfimo) ocorre na extremidade esquerda e o maior valor (supremo) ocorre na extremidade direita. Portanto
Agora substituo a expressão de
em termos de
:
Passo 3
Substituindo
em
. Lembre que
. Então
Separando o somatório em duas parcelas:
Usando as fórmulas úteis:
Portanto
Agora substituo
para simplificar:
Simplificando fatores
:
Ou escrevendo de forma mais explícita:
Passo 4
Agora faço o mesmo para
. Substituindo
:
Separe os somatórios:
Usando as fórmulas:
Logo
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Calculo os limites quando
. Observe que
Portanto
E
Ambos os limites coincidem; para manipular essa expressão e deixá-la numa forma mais familiar, fatoro
:
Conclusão pela definição de integrabilidade de Darboux: como as somas inferior e superior têm o mesmo limite,
é integrável em
e
Passo 6
Resumo didático e dica rápida pra prova: para funções crescentes em partição regular, os mínimos ficam no ponto esquerdo e os máximos no direito — isso economiza tempo na hora de escrever
e
. Separar termos constantes e termos com
nos somatórios e aplicar
e
é o truque padrão para chegar às expressões fechadas antes de tomar o limite. Força aí — com esse procedimento qualquer integral de polinômio de grau 1 ou 2 por somas de Riemann sai numa boa!
Resposta
(a)
(b)
(c)
, portanto