A Integral de f(x)=x em [a, b]
Objetivo: Este teste irá guiá-lo no cálculo de integrais definidas em um intervalo genérico
Considere a função f(x)=x no intervalo fechado [a, b]. Defina uma partição regular P=\left\{t_{0}, t_{1}, \ldots, t_{n}\right\} do intervalo [a, b], onde:
t_{0}=a, \quad t_{n}=b, \quad \text { e } \quad t_{i}=t_{i-1}+\frac{b-a}{n} \Longrightarrow t_{i}=a+i \frac{b-a}{n}
a) Sendo f(x)=x uma função estritamente crescente, identifique onde a função atinge o seu ínfimo ( m_{i} ) e o seu supremo ( M_{i} ) no subintervalo genérico [ t_{i-1}, t_{i} ]. Escreva as expressões para m_{i} e M_{i} em função de a, b, n e i.
b) A Soma Inferior de Darboux é dada por s_{n}=\sum_{i=1}^{n} m_{i}\left(t_{i}-t_{i-1}\right) e a Soma Superior por S_{n}= \sum_{i=1}^{n} M_{i}\left(t_{i}-t_{i-1}\right). Substitua os valores encontrados e desenvolva as expressões para s_{n} e S_{n}, separando os somatórios.
c) Usando as fórmulas úteis fornecidas no início do teste, calcule os limites \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} e \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}. Conclua o valor de \int_{a}^{b} x d x.
Fórmulas Úteis (Somas):
  • Soma de uma constante c: \sum_{i=1}^{n} c=n \cdot c
  • Soma dos n primeiros inteiros: \sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+1)}{2}
  • Soma dos quadrados dos n primeiros inteiros: \sum_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados importantes:
  • Função f(x)=x no intervalo fechado [a,b].
  • Partição regular P=\{t_0,t_1,\dots,t_n\} com
t_0=a,\qquad t_n=b,\qquad t_i=a+i\frac{b-a}{n}.
  • A largura de cada subintervalo é
\Delta x:=t_i-t_{i-1}=\frac{b-a}{n}.
  • Foi dito que f é estritamente crescente.
O enunciado pede:
(a) para o subintervalo genérico [t_{i-1},t_i], indicar onde ocorre o ínfimo m_i e o supremo M_i e escrever m_i e M_i em função de a,b,n,i;
(b) substituir esses m_i e M_i nas somas de Darboux
s_n=\sum_{i=1}^{n} m_i (t_i-t_{i-1}),\qquad S_n=\sum_{i=1}^{n} M_i (t_i-t_{i-1}),
desenvolver as expressões e separar os somatórios;
(c) calcular \lim_{n\to\infty}s_n e \lim_{n\to\infty}S_n usando as fórmulas de soma dadas e concluir o valor de \int_a^b x\,dx.

Passo 2

Entendendo onde estão m_i e M_i num subintervalo: como f(x)=x é estritamente crescente, em qualquer intervalo [t_{i-1},t_i] o menor valor (ínfimo) ocorre na extremidade esquerda e o maior valor (supremo) ocorre na extremidade direita. Portanto
m_i=f(t_{i-1})=t_{i-1},\qquad M_i=f(t_i)=t_i.
Agora substituo a expressão de t_i em termos de a,b,n,i:
m_i = t_{i-1}=a+(i-1)\frac{b-a}{n}, \qquad M_i = t_i = a+i\frac{b-a}{n}.

Passo 3

Substituindo m_i em s_n. Lembre que \Delta x=\dfrac{b-a}{n}. Então
s_n=\sum_{i=1}^n m_i\Delta x = \Delta x \sum_{i=1}^n\left(a+(i-1)\Delta x\right).
Separando o somatório em duas parcelas:
s_n=\Delta x\left(\sum_{i=1}^n a + \Delta x\sum_{i=1}^n (i-1)\right).
Usando as fórmulas úteis:
\sum_{i=1}^n a = n a, \qquad \sum_{i=1}^n (i-1)=\sum_{i=1}^n i - \sum_{i=1}^n 1 = \frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n(n-1)}{2}.
Portanto
s_n=\Delta x\left( n a + \Delta x\cdot\frac{n(n-1)}{2}\right).
Agora substituo \Delta x=\dfrac{b-a}{n} para simplificar:
s_n=\frac{b-a}{n}\left(n a + \frac{b-a}{n}\cdot\frac{n(n-1)}{2}\right).
Simplificando fatores n:
s_n = (b-a)\,a + \frac{(b-a)^2}{2}\cdot\frac{n-1}{n}.
Ou escrevendo de forma mais explícita:
s_n = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2}\cdot\frac{n-1}{n}.

Passo 4

Agora faço o mesmo para S_n. Substituindo M_i:
S_n=\sum_{i=1}^n M_i\Delta x = \Delta x \sum_{i=1}^n\left(a + i\Delta x\right).
Separe os somatórios:
S_n=\Delta x\left(\sum_{i=1}^n a + \Delta x\sum_{i=1}^n i\right).
Usando as fórmulas:
\sum_{i=1}^n a = n a,\qquad \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.
Logo
S_n=\Delta x\left(n a + \Delta x\cdot\frac{n(n+1)}{2}\right).
Substituindo \Delta x=\dfrac{b-a}{n}:
S_n=\frac{b-a}{n}\left(n a + \frac{b-a}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\right).
Simplificando:
S_n = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2}\cdot\frac{n+1}{n}.

Passo 5

Calculo os limites quando n\to\infty. Observe que
\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n}=1,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}s_n = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2}\cdot 1 = a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}.
E
\lim_{n\to\infty}S_n = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2}\cdot 1 = a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}.
Ambos os limites coincidem; para manipular essa expressão e deixá-la numa forma mais familiar, fatoro (b-a):
a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}=(b-a)\left(a+\frac{b-a}{2}\right) =(b-a)\frac{a+b}{2}=\frac{b^2-a^2}{2}.
Conclusão pela definição de integrabilidade de Darboux: como as somas inferior e superior têm o mesmo limite, f(x)=x é integrável em [a,b] e
\int_a^b x\,dx = \frac{b^2-a^2}{2}.

Passo 6

Resumo didático e dica rápida pra prova: para funções crescentes em partição regular, os mínimos ficam no ponto esquerdo e os máximos no direito — isso economiza tempo na hora de escrever m_i e M_i. Separar termos constantes e termos com i nos somatórios e aplicar \sum i e \sum 1 é o truque padrão para chegar às expressões fechadas antes de tomar o limite. Força aí — com esse procedimento qualquer integral de polinômio de grau 1 ou 2 por somas de Riemann sai numa boa!

Resposta

(a) m_i = a+(i-1)\dfrac{b-a}{n},\quad M_i = a+i\dfrac{b-a}{n}
(b) s_n = a(b-a) + \dfrac{(b-a)^2}{2}\cdot\dfrac{n-1}{n},\quad S_n = a(b-a) + \dfrac{(b-a)^2}{2}\cdot\dfrac{n+1}{n}
(c) \displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{b^2-a^2}{2}, portanto \displaystyle \int_a^b x\,dx=\frac{b^2-a^2}{2}

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