(2.0) A integral \iiint_{W} f(x, y, z) d V, onde W é sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e 2 x+2 y+z=2 pode ser escrita como:
a) ( ) \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} f(x, y, z) d z d y d x
d) ( ) \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y} \int_{0}^{2-2 x-2 y} f(x, y, z) d z d x d y
b) ( ) \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{2-2 x-2 y} f(x, y, z) d z d x d y
е) ( ) \int_{0}^{2} \int_{0}^{1-y} \int_{0}^{1-x-y} f(x, y, z) d y d x d z
c) ( ) \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y} f(x, y, z) d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{W}f(x,y,z)\,dV
sobre o sólido W definido por
x\ge0,\quad y\ge0,\quad z\ge0,\quad 2x+2y+z\le2.
O conteúdo aqui é descrever corretamente os limites de integração. Vamos escolher a ordem dz\,dx\,dy.

Passo 2

Para cada y fixo, projetamos W no plano xy. Da condição 2x+2y+z\le2 e z\ge0 tira-se
2x+2y\le2 \quad\Longrightarrow\quad x+y\le1.
Como x\ge0 e y\ge0, a região de projeção é o triângulo
\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;0\le x\le1-y\}.

Passo 3

Dentro desse triângulo, z vai de 0 até a face z=2-2x-2y. Logo, na ordem dz\,dx\,dy os limites são:
0\le y\le1, \quad 0\le x\le1-y, \quad 0\le z\le2-2x-2y.
Portanto a integral fica
\int_{y=0}^{1} \int_{x=0}^{1-y} \int_{z=0}^{2-2x-2y} f(x,y,z)\;dz\,dx\,dy.

Resposta

d) \displaystyle \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1-y}\!\int_{0}^{2-2x-2y}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy

Exercícios relacionados