Determine, se existir os limites abaixo:
\lim _{t \rightarrow \pi} f(t) onde f(t)=\left(\frac{1}{t}, \operatorname{sen}(3 t)\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial
f(t)=\bigl(\tfrac{1}{t},\,\sin(3t)\bigr)
quando t\to\pi. O conteúdo aqui é limite de função vetorial, que se calcula componente a componente.

Passo 2

Verificamos antes o domínio: como há \tfrac{1}{t}, t\neq0. Como \pi\neq0, podemos aproximar t de \pi sem sair do domínio. Usamos o fato de que
\lim_{t\to\pi}f(t)=\Bigl(\lim_{t\to\pi}\tfrac{1}{t},\,\lim_{t\to\pi}\sin(3t)\Bigr)
desde que ambos os limites existam.

Passo 3

Calculamos o limite da primeira componente:
\lim_{t\to\pi}\frac{1}{t} =\frac{1}{\pi}.

Passo 4

Calculamos o limite da segunda componente:
\lim_{t\to\pi}\sin(3t) =\sin\bigl(3\pi\bigr) =0.

Passo 5

Como ambos os limites existem, o limite da função vetorial é
\Bigl(\tfrac{1}{\pi},\,0\Bigr).

Resposta

\lim_{t\to\pi}f(t)=\bigl(\tfrac{1}{\pi},\,0\bigr).

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