Considere três dispositivos eletrônicos, com tempos de falha T_{1}, T_{2} e T_{3} independentes e com distribuições exponenciais com parâmetros \alpha, \beta e \gamma, respectivamente, quando estão ligados em paralelo.
(a) Qual é a função de confiabilidade deste sistema?
(b) Qual é a duração esperada da confiabilidade deste sistema?
(c) Qual é a função de risco deste sistema? Que tipo de comportamento é representado pelo seu comportamento?

Passo 1

O enunciado: temos três tempos de falha independentes T_{1}\sim\mathrm{Exp}(\alpha), T_{2}\sim\mathrm{Exp}(\beta) e T_{3}\sim\mathrm{Exp}(\gamma), ligados em paralelo. Em paralelo o sistema funciona enquanto pelo menos um dispositivo estiver vivo. Precisamos achar:
– (a) a função de confiabilidade R_{\text{sys}}(t)=P(T_{\text{sys}}>t);
– (b) a duração esperada E[T_{\text{sys}}];
– (c) a função de risco (hazard) h_{\text{sys}}(t) e comentar seu comportamento.

Passo 2

Para um sistema em paralelo vale
R_{\text{sys}}(t) =1 - P(\text{todos falham até }t) =1 - \prod_{i=1}^{3}F_{T_i}(t)é
onde F_{T_i}(t)=1-e^{-\lambda_i t}. Logo, com \lambda_1=\alpha, \lambda_2=\beta, \lambda_3=\gamma,
R_{\text{sys}}(t) =1 - \bigl(1-e^{-\alpha t}\bigr)\bigl(1-e^{-\beta t}\bigr)\bigl(1-e^{-\gamma t}\bigr).

Passo 3

Podemos expandir para ver a combinação de termos exponenciais:
R_{\text{sys}}(t) =e^{-\alpha t}+e^{-\beta t}+e^{-\gamma t} -e^{-(\alpha+\beta)t}-e^{-(\alpha+\gamma)t}-e^{-(\beta+\gamma)t} +e^{-(\alpha+\beta+\gamma)t}.

Passo 4

A duração esperada é
E[T_{\text{sys}}] =\int_{0}^{\infty}R_{\text{sys}}(t)\,dt.
Integrando cada termo exponencial obtemos
E[T_{\text{sys}}] =\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} -\frac{1}{\alpha+\beta}-\frac{1}{\alpha+\gamma}-\frac{1}{\beta+\gamma} +\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}.

Passo 5

A densidade do sistema é
f_{\text{sys}}(t) =-\frac{d}{dt}R_{\text{sys}}(t) =\sum_{i\in\{1,2,3\}}\lambda_i e^{-\lambda_i t} \prod_{j\neq i}\bigl(1-e^{-\lambda_j t}\bigr),
de modo que o hazard é
h_{\text{sys}}(t) =\frac{f_{\text{sys}}(t)}{R_{\text{sys}}(t)}.
Para t\to0 tem-se h_{\text{sys}}(0)=\alpha+\beta+\gamma e, à medida que t\to\infty, o termo dominante é o menor parâmetro, levando h_{\text{sys}}(t)\to\min\{\alpha,\beta,\gamma\}. Logo, h_{\text{sys}}(t) decresce, caracterizando uma taxa de falha decrescente (DFR), típica de sistemas paralelos em que sobram cada vez menos componentes.

Resposta

(a) R_{\text{sys}}(t) =1 - \bigl(1-e^{-\alpha t}\bigr)\bigl(1-e^{-\beta t}\bigr)\bigl(1-e^{-\gamma t}\bigr).
(b) E[T_{\text{sys}}] =\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} -\frac{1}{\alpha+\beta}-\frac{1}{\alpha+\gamma}-\frac{1}{\beta+\gamma} +\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}.
(c) h_{\text{sys}}(t) =\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\lambda_i e^{-\lambda_i t}\prod_{j\neq i}(1-e^{-\lambda_j t})} {\displaystyle1 - \prod_{i=1}^{3}(1-e^{-\lambda_i t})},
com \lambda_1=\alpha,\lambda_2=\beta,\lambda_3=\gamma. O comportamento é de hazard decrescente (DFR), típico de sistemas em paralelo.

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