A integral \int_{C}\left(x^{2} y+5\right) d s, sendo C a curva parametrizada por: \vec{\beta}(\mathrm{t})=(\cos (\mathrm{t}), \operatorname{sen}(\mathrm{t})), \operatorname{com} \leq t \leq \pi, vale
(A) 5 \pi.
(B) \quad 5 \pi+\frac{2}{3}.
(C) 5 \pi-\frac{2}{3}.
(D) \quad 5 \pi+\frac{1}{3}.
(E) \quad 5 \pi-\frac{1}{3}.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{C}\bigl(x^{2}y+5\bigr)\,ds,
onde a curva C é dada pela parametrização
\vec{\beta}(t)=(\cos t,\sin t),
com 0\le t\le \pi.
Informações relevantes fornecidas:
A função a ser integrada ao longo da curva é f(x,y)=x^{2}y+5.
A curva é o semicírculo superior do círculo unitário, parametrizado por \vec{\beta}(t).
O parâmetro varia de t=0 até t=\pi.
O que se pede: calcular o valor numérico da integral de linha indicada.
Passo 2
Recordando a fórmula prática: para uma função escalar f(x,y) e uma curva parametrizada \vec{\beta}(t)=(x(t),y(t)), a\le t\le b, a integral de linha em comprimento de arco é
Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt por substituição. Faça u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, ou \cos^{2}t\sin t\,dt = -u^{2}\,du. Mudança dos limites: