A integral \int_{C}\left(x^{2} y+5\right) d s, sendo C a curva parametrizada por: \vec{\beta}(\mathrm{t})=(\cos (\mathrm{t}), \operatorname{sen}(\mathrm{t})), \operatorname{com} \leq t \leq \pi, vale
(A) 5 \pi.
(B) \quad 5 \pi+\frac{2}{3}.
(C) 5 \pi-\frac{2}{3}.
(D) \quad 5 \pi+\frac{1}{3}.
(E) \quad 5 \pi-\frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{C}\bigl(x^{2}y+5\bigr)\,ds,
onde a curva C é dada pela parametrização
\vec{\beta}(t)=(\cos t,\sin t),
com 0\le t\le \pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a ser integrada ao longo da curva é f(x,y)=x^{2}y+5.
  • A curva é o semicírculo superior do círculo unitário, parametrizado por \vec{\beta}(t).
  • O parâmetro varia de t=0 até t=\pi.
    O que se pede: calcular o valor numérico da integral de linha indicada.

Passo 2

Recordando a fórmula prática: para uma função escalar f(x,y) e uma curva parametrizada \vec{\beta}(t)=(x(t),y(t)), a\le t\le b, a integral de linha em comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\|\vec{\beta}'(t)\bigr\|\,dt.
Aqui:
  • f\bigl(x(t),y(t)\bigr) é a função f avaliada na parametrização;
  • \vec{\beta}'(t) é a derivada da parametrização em relação a t;
  • \bigl\|\vec{\beta}'(t)\bigr\| é o comprimento do vetor velocidade, e transforma dt em elemento de comprimento ds.

Passo 3

Calculando \vec{\beta}'(t) e seu módulo:
\vec{\beta}'(t)=(-\sin t,\cos t),
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\bigl\|\vec{\beta}'(t)\bigr\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=1.
Comentário didático: para a parametrização do círculo unitário a velocidade tem magnitude 1, então ds=dt. Isso simplifica muito a integral.

Passo 4

Substituindo a parametrização em f:
f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(\cos t\bigr)^{2}\bigl(\sin t\bigr)+5=\cos^{2}t\sin t+5.
Usando que \| \vec{\beta}'(t)\|=1, a integral vira
\int_{C}\bigl(x^{2}y+5\bigr)\,ds = \int_{0}^{\pi}\bigl(\cos^{2}t\sin t+5\bigr)\,dt.
Podemos separar a integral em duas:
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt \;+\; \int_{0}^{\pi}5\,dt.
A segunda é imediata: \int_{0}^{\pi}5\,dt=5\pi.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt por substituição. Faça u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, ou \cos^{2}t\sin t\,dt = -u^{2}\,du. Mudança dos limites:
  • quando t=0 temos u=\cos 0=1;
  • quando t=\pi temos u=\cos\pi=-1.
    Portanto
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt = -\int_{u=1}^{u=-1} u^{2}\,du = \int_{-1}^{1} u^{2}\,du.
Agora integramos u^{2}:
\int_{-1}^{1} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.

Passo 6

Somando as duas parcelas:
\int_{C}\bigl(x^{2}y+5\bigr)\,ds = 5\pi + \frac{2}{3}.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à opção (B).

Resposta

(B) 5\pi+\frac{2}{3}

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