Sobre medidas de tendência central, considerando o conjunto T das temperaturas, em grau Celsius, registradas nos dez primeiros dias do mês de junho em determinada região, respectivamente: 11^{\circ} \mathrm{C}; 11^{\circ} \mathrm{C} ; 6^{\circ} \mathrm{C} ; 6^{\circ} \mathrm{C} ; 3^{\circ} \mathrm{C} ; 3^{\circ} \mathrm{C} ; 0^{\circ} \mathrm{C} ; 3^{\circ} \mathrm{C} ; 5^{\circ} \mathrm{C} ; 6^{\circ} \mathrm{C}, analise as assertivas e assinale a alternativa que aponta a(s) correta(s).
I. A média aritmética das temperaturas é 6^{\circ} \mathrm{C}.
II. A mediana é igual a 5^{\circ} \mathrm{C} ou 6^{\circ} \mathrm{C}.
III. P é multimodal.
(A) Apenas I.
(B) Apenas II.
(C) Apenas III.
(D) Apenas I e III.
(E) Apenas II e III.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Os dados são as temperaturas registradas nos dez primeiros dias (em grau Celsius):
\;11^\circ\mathrm{C},\;11^\circ\mathrm{C},\;6^\circ\mathrm{C},\;6^\circ\mathrm{C},\;3^\circ\mathrm{C},\;3^\circ\mathrm{C},\;0^\circ\mathrm{C},\;3^\circ\mathrm{C},\;5^\circ\mathrm{C},\;6^\circ\mathrm{C}.
O enunciado apresenta três assertivas a verificar:
I. A média aritmética das temperaturas é \,6^\circ\mathrm{C}.
II. A mediana é igual a \,5^\circ\mathrm{C} ou \,6^\circ\mathrm{C}.
III. P é multimodal. (interpreto como: o conjunto de temperaturas é multimodal)
O objetivo é decidir quais das assertivas I, II e III são verdadeiras e marcar a alternativa correta.

Passo 2

Média aritmética — conceito e cálculo passo a passo.
Explicação do conceito:
A média aritmética de um conjunto de n valores x_1,x_2,\dots,x_n é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
ou seja, soma-se todos os valores e divide-se por n. Aqui n é o número total de observações (aqui n=10) e x_i são as temperaturas.
Cálculo para nosso conjunto:
É prático agrupar valores iguais e multiplicar pela frequência:
  • 11^\circ\mathrm{C} aparece 2 vezes \Rightarrow 11\cdot2 = 22.
  • 6^\circ\mathrm{C} aparece 3 vezes \Rightarrow 6\cdot3 = 18.
  • 3^\circ\mathrm{C} aparece 3 vezes \Rightarrow 3\cdot3 = 9.
  • 5^\circ\mathrm{C} aparece 1 vez \Rightarrow 5\cdot1 = 5.
  • 0^\circ\mathrm{C} aparece 1 vez \Rightarrow 0\cdot1 = 0.
Somando:
\sum x_i = 22 + 18 + 9 + 5 + 0 = 54.
Como n=10,
\bar{x}=\frac{54}{10}=5,4.
Portanto a média é \,5{,}4^\circ\mathrm{C}, não \,6^\circ\mathrm{C}. Logo a assertiva I é falsa.
Dica de prova: faça sempre a soma agrupando frequências — é rápido e evita erro de soma manual.

Passo 3

Mediana — conceito e cálculo passo a passo.
Explicação do conceito:
A mediana é o valor central de um conjunto ordenado. Se n é ímpar, é o elemento na posição (n+1)/2. Se n é par, é a média aritmética dos elementos nas posições n/2 e n/2+1.
Aqui n=10 (par), então a mediana é a média dos elementos na 5ª e 6ª posições quando os dados estão ordenados.
Ordenando os dados em ordem crescente (vou mostrar cada elemento):
0^\circ\mathrm{C},\;3^\circ\mathrm{C},\;3^\circ\mathrm{C},\;3^\circ\mathrm{C},\;5^\circ\mathrm{C},\;6^\circ\mathrm{C},\;6^\circ\mathrm{C},\;6^\circ\mathrm{C},\;11^\circ\mathrm{C},\;11^\circ\mathrm{C}.
As posições 5ª e 6ª são 5^\circ\mathrm{C} e 6^\circ\mathrm{C}. Logo a mediana é
\text{mediana}=\frac{5+6}{2}= \frac{11}{2}=5{,}5.
Portanto a mediana é \,5{,}5^\circ\mathrm{C}, que não é nem 5^\circ\mathrm{C} nem 6^\circ\mathrm{C}. Assim a assertiva II é falsa.
Dica de prova: sempre ordene os dados e conte as posições; para n par, lembre-se que é a média dos dois valores centrais.

Passo 4

Moda e multimodalidade — conceito e aplicação.
Explicação do conceito:
A moda é o(s) valor(es) que mais se repetem no conjunto. Se houver um único valor com maior frequência, diz-se unimodal; se houver dois valores empatados na maior frequência, diz-se bimodal; se houver mais de dois, chama-se multimodal (ou, mais precisamente, multimodal inclui bimodal também, significando “mais de um modo”).
Cálculo das frequências (já parcialmente feito no Passo 2):
  • 0^\circ\mathrm{C}: frequência 1.
  • 3^\circ\mathrm{C}: frequência 3.
  • 5^\circ\mathrm{C}: frequência 1.
  • 6^\circ\mathrm{C}: frequência 3.
  • 11^\circ\mathrm{C}: frequência 2.
As maiores frequências são 3 ocorrências, e dois valores atingem essa frequência: 3^\circ\mathrm{C} e 6^\circ\mathrm{C}. Assim existem duas modas (empate máximo), ou seja o conjunto é bimodal — em linguagem comum, multimodal (mais de uma moda).
Portanto a assertiva III é verdadeira.
Dica de prova: conte as repetições; se dois ou mais valores têm a mesma maior frequência, diga que é multimodal (especificamente bimodal, se forem dois).

Passo 5

Síntese das verificações:
  • I: falsa (média =5{,}4^\circ\mathrm{C}, não 6^\circ\mathrm{C}).
  • II: falsa (mediana =5{,}5^\circ\mathrm{C}, não 5^\circ\mathrm{C} nem 6^\circ\mathrm{C}).
  • III: verdadeira (há duas modas, 3^\circ\mathrm{C} e 6^\circ\mathrm{C}, logo o conjunto é multimodal).
Portanto, entre as três assertivas, apenas a III é verdadeira.

Resposta

(C)

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