A área da região limitada pelas curvas
e
é, em unidades de área, igual a
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E) 1 .
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) 1 .
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Duas curvas no plano:
e . - A pergunta é: qual é a área da região que fica entre essas duas curvas (valor numérico, em unidades de área)?
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas (os limites da região). Para achar onde as curvas se encontram, resolve-se a equação
Observação: a função
só está definida para
, logo só procuramos soluções não negativas.
Passo 3
Resolver a equação de interseção. Escrevendo
,
Fatorando
,
Portanto ou
(daí
) ou
(daí
). Logo os pontos de interseção têm
e
. Os pontos são
e
.
Passo 4
Determinar qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) no intervalo
. Para
vale a propriedade: se
e
, então
. Aqui
e
; como
e
, tem
. Assim, no intervalo
temos
Também se pode verificar por um ponto teste (por exemplo
:
e
, então
é maior).
Passo 5
Escrever a fórmula da área entre duas curvas usando “fatias verticais” (strip method). Se uma região é limitada por
e
e por duas funções com a superior
e a inferior
, então a área é
Aqui
,
,
e
. Portanto a integral que representa a área é
Passo 6
Calcular a integral usando a regra da potência para antiderivadas. Regra da potência: para
,
Aplicando termo a termo:
- Para
(onde ): - Para
(onde ):
Portanto a antiderivada de
é
.
Passo 7
Avaliar a integral definida de
a
:
Substituindo os limites:
Passo 8
Comentário final curto e incentivo: pronto — a região pedida tem área
. Ótimo trabalho em acompanhar passo a passo; você consegue aplicar isso rápido na prova lembrando de achar interseções e escolher a função do topo!
Resposta
(A)