A área da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=\sqrt{x} é, em unidades de área, igual a
(A) \frac{1}{3}.
(B) \frac{2}{3}.
(C) \frac{5}{6}.
(D) \frac{7}{6}.
(E) 1 .

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=\sqrt{x}.
Informações dadas:
  • Duas curvas no plano: y=x^{2} e y=\sqrt{x}.
  • A pergunta é: qual é a área da região que fica entre essas duas curvas (valor numérico, em unidades de área)?

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas (os limites da região). Para achar onde as curvas se encontram, resolve-se a equação
x^{2}=\sqrt{x}.
Observação: a função \sqrt{x} só está definida para x\ge 0, logo só procuramos soluções não negativas.

Passo 3

Resolver a equação de interseção. Escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2},
x^{2}=x^{1/2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}-x^{1/2}=0.
Fatorando x^{1/2},
x^{1/2}\bigl(x^{3/2}-1\bigr)=0.
Portanto ou x^{1/2}=0 (daí x=0) ou x^{3/2}=1 (daí x=1). Logo os pontos de interseção têm x=0 e x=1. Os pontos são (0,0) e (1,1).

Passo 4

Determinar qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) no intervalo [0,1]. Para 0<x<1 vale a propriedade: se 0<x<1 e a>b>0, então x^{a}<x^{b}. Aqui x^{2}=x^{2} e \sqrt{x}=x^{1/2}; como 2>1/2 e 0<x<1, tem x^{2}<x^{1/2}. Assim, no intervalo (0,1) temos
\sqrt{x}\\ \text{(top)}\quad\text{e}\quad x^{2}\\ \text{(bottom)}.
Também se pode verificar por um ponto teste (por exemplo x=\tfrac{1}{4}: (\tfrac{1}{4})^{2}=\tfrac{1}{16} e \sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}, então \sqrt{x} é maior).

Passo 5

Escrever a fórmula da área entre duas curvas usando “fatias verticais” (strip method). Se uma região é limitada por x=a e x=b e por duas funções com a superior y_{\text{top}}(x) e a inferior y_{\text{bot}}(x), então a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui a=0, b=1, y_{\text{top}}(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} e y_{\text{bot}}(x)=x^{2}. Portanto a integral que representa a área é
\int_{0}^{1}\bigl(x^{1/2}-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral usando a regra da potência para antiderivadas. Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
  • Para x^{1/2} (onde n=\tfrac{1}{2}): \displaystyle \int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
  • Para x^{2} (onde n=2): \displaystyle \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Portanto a antiderivada de x^{1/2}-x^{2} é \dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{1}{3}x^{3}.

Passo 7

Avaliar a integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{1/2}-x^{2}\bigr)\,dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}.
Substituindo os limites:
\left(\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\frac{1}{3}\cdot 1^{3}\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 0^{3/2}-\frac{1}{3}\cdot 0^{3}\right) =\frac{2}{3}-\frac{1}{3}= \frac{1}{3}.

Passo 8

Comentário final curto e incentivo: pronto — a região pedida tem área \tfrac{1}{3}. Ótimo trabalho em acompanhar passo a passo; você consegue aplicar isso rápido na prova lembrando de achar interseções e escolher a função do topo!

Resposta

(A) \frac{1}{3}

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