A integral
converge e seu valor é:
Passo 1
Resumo do Exercício:
Temos que calcular a integral definida de $ \frac{1}{x^{4} \sqrt{x^{2}-4}} $ no intervalo de 4 até mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e entender um pouco sobre integrais impróprias.
Temos que calcular a integral definida de $ \frac{1}{x^{4} \sqrt{x^{2}-4}} $ no intervalo de 4 até mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e entender um pouco sobre integrais impróprias.
Passo 2
Entendendo a Integral:
A integral dada é:
A integral dada é:
Como o limite superior é infinito, tratamos isso como uma integral imprópria. Precisamos verificar se essa integral converge (tem um valor finito) e, se sim, calcular esse valor.
Passo 3
Escolhendo a Substituição:
Para simplificar a integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Para simplificar a integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Isso nos ajuda a lidar com a parte $ \sqrt{x^{2} - 4} $ na integral.
Passo 4
Calculando as Derivadas e Simplificando:
Com a substituição $ x = 2 \sec(\theta) $, calculamos:
Com a substituição $ x = 2 \sec(\theta) $, calculamos:
E também:
Substituindo na integral original, simplificamos e obtemos:
Passo 5
Integrando e Avaliando os Limites:
A integral $ \int \cos^{3}(\theta) d\theta $ pode ser resolvida usando identidades trigonométricas:
A integral $ \int \cos^{3}(\theta) d\theta $ pode ser resolvida usando identidades trigonométricas:
Aplicando os limites de $ \pi/3 $ a $ \pi/2 $, obtemos:
Simplificando:
Resposta
A integral converge e seu valor é: