A integral integral4^+infty d xx^4 raizx^2-4 converge e seu valor é:

Passo 1

Resumo do Exercício:
Temos que calcular a integral definida de $ \frac{1}{x^{4} \sqrt{x^{2}-4}} $ no intervalo de 4 até mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e entender um pouco sobre integrais impróprias.

Passo 2

Entendendo a Integral:
A integral dada é:
integral4^+infty dxx^4 raizx^2-4
Como o limite superior é infinito, tratamos isso como uma integral imprópria. Precisamos verificar se essa integral converge (tem um valor finito) e, se sim, calcular esse valor.

Passo 3

Escolhendo a Substituição:
Para simplificar a integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
x = 2 sec(theta)
Isso nos ajuda a lidar com a parte $ \sqrt{x^{2} - 4} $ na integral.

Passo 4

Calculando as Derivadas e Simplificando:
Com a substituição $ x = 2 \sec(\theta) $, calculamos:
x = 2 sec(theta)
E também:
dx = 2 sec(theta) tan(theta) dtheta
Substituindo na integral original, simplificamos e obtemos:
raizx^2 - 4 = 2 tan(theta)

Passo 5

Integrando e Avaliando os Limites:
A integral $ \int \cos^{3}(\theta) d\theta $ pode ser resolvida usando identidades trigonométricas:
integral cos^3(theta) dtheta
Aplicando os limites de $ \pi/3 $ a $ \pi/2 $, obtemos:
integral cos^3(theta) dtheta = sin(theta) - 13sin^3(theta) + C
Simplificando:
pi/3

Resposta

A integral converge e seu valor é:
16 - 9raiz3384

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