Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
usando o método das cascas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas curvas: $ y = x^{2} - 4x + 4 $ e $ y = -3x^{2} + 12x - 8 $. A gente precisa encontrar a integral que calcula o volume do sólido formado quando a região delimitada por essas curvas é girada em torno do eixo $ x = 5 $. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso nos dará os limites de integração. Igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Fatorando:
Portanto, $ x = 1 $ e $ x = 3 $. Esses são os limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos entender como aplicar o método das cascas cilíndricas. Esse método envolve pensar em fatias verticais da região que, quando giradas em torno do eixo $ x = 5 $, formam cascas cilíndricas. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde:
- $ r(x) $ é a distância do elemento infinitesimal $ dx $ até o eixo de rotação.
- $ h(x) $ é a altura da casca, que é a diferença entre as duas funções.
Passo 4
Vamos determinar $ r(x) $ e $ h(x) $.
Distância $ r(x) $:
O eixo de rotação é $ x = 5 $. A distância de um ponto $ x $ até esse eixo é:
O eixo de rotação é $ x = 5 $. A distância de um ponto $ x $ até esse eixo é:
Como estamos integrando de $ x = 1 $ a $ x = 3 $, onde $ x < 5 $, podemos simplificar para:
Altura $ h(x) $:
A altura da casca é a diferença entre as duas funções. Precisamos saber qual função está acima da outra entre $ x = 1 $ e $ x = 3 $.
A altura da casca é a diferença entre as duas funções. Precisamos saber qual função está acima da outra entre $ x = 1 $ e $ x = 3 $.
Vamos calcular em $ x = 2 $:
Como $ y_2 > y_1 $ nesse intervalo, a altura é:
Passo 5
Agora, substituímos $ r(x) $ e $ h(x) $ na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de integração de $ x = 1 $ a $ x = 3 $:
Calculando:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = 1 $:
Substituindo:
Resposta
O volume do sólido é $ 32\pi $ unidades cúbicas.