Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x^2-4 x+4 e y=-3 x^2+12 x-8 em torno do eixo x=5 usando o método das cascas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas curvas: $ y = x^{2} - 4x + 4 $ e $ y = -3x^{2} + 12x - 8 $. A gente precisa encontrar a integral que calcula o volume do sólido formado quando a região delimitada por essas curvas é girada em torno do eixo $ x = 5 $. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso nos dará os limites de integração. Igualamos as duas equações:
x^2 - 4x + 4 = -3x^2 + 12x - 8
Resolvendo essa equação:
x^2 + 3x^2 - 4x - 12x + 4 + 8 = 0 4x^2 - 16x + 12 = 0 Dividindo tudo por 4: x^2 - 4x + 3 = 0
Fatorando:
(x - 1)(x - 3) = 0
Portanto, $ x = 1 $ e $ x = 3 $. Esses são os limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos entender como aplicar o método das cascas cilíndricas. Esse método envolve pensar em fatias verticais da região que, quando giradas em torno do eixo $ x = 5 $, formam cascas cilíndricas. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
x = 5
Onde:
  • $ r(x) $ é a distância do elemento infinitesimal $ dx $ até o eixo de rotação.
  • $ h(x) $ é a altura da casca, que é a diferença entre as duas funções.

Passo 4

Vamos determinar $ r(x) $ e $ h(x) $.
Distância $ r(x) $:
O eixo de rotação é $ x = 5 $. A distância de um ponto $ x $ até esse eixo é:
r(x)
Como estamos integrando de $ x = 1 $ a $ x = 3 $, onde $ x < 5 $, podemos simplificar para:
h(x)
Altura $ h(x) $:
A altura da casca é a diferença entre as duas funções. Precisamos saber qual função está acima da outra entre $ x = 1 $ e $ x = 3 $.
Vamos calcular em $ x = 2 $:
r(x)
Como $ y_2 > y_1 $ nesse intervalo, a altura é:
x = 5

Passo 5

Agora, substituímos $ r(x) $ e $ h(x) $ na fórmula do volume:
r(x)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(5 - x)(-4x^2 + 16x - 12) = -4x^2(5) + 16x(5) -12(5) + 4x^3 -16x^2 +12x = -20x^2 + 80x - 60 + 4x^3 -16x^2 +12x = 4x^3 -36x^2 +92x -60
Então, a integral fica:
V = 2pi integral1^3 (4x^3 -36x^2 +92x -60) , dx

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral (4x^3 -36x^2 +92x -60) , dx = 4 cdot x^44 -36 cdot x^33 +92 cdot x^22 -60x + C = x^4 -12x^3 +46x^2 -60x + C
Agora, aplicamos os limites de integração de $ x = 1 $ a $ x = 3 $:
x = 1
Calculando:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = 1 $:
V = 2pi [ (3^4 -12 cdot 3^3 +46 cdot 3^2 -60 cdot 3) - (1^4 -12 cdot 1^3 +46 cdot 1^2 -60 cdot 1) ]
Substituindo:
x = 3

Resposta

O volume do sólido é $ 32\pi $ unidades cúbicas.

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