A integral
integralC(-x+2 z) d r
em que C é o segmento de reta que liga os pontos A=(2,-1,-2) e B=(0,-2,3), é igual a

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC(-x+2z),d r
onde C é o segmento de reta de A=(2,-1,-2) até B=(0,-2,3). Vamos usar parametrização da reta e a definição de integral vetorial
integralC f( r),d r =l(integralC f( r),dx,;integralC f( r),dy,;integralC f( r),dzr)

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = l(2-2t,,-1-t,,-2+5tr), 0<= t<= 1,
de modo que r(0)=A e r(1)=B. Então
d r = l(dx,dy,dzr) =l(-2,-1,5r),dt

Passo 3

A função escalar é
f(x,y,z) = -x + 2z
Em termos de t,
fl( r(t)r) = -l(2-2tr) + 2l(-2+5tr) = -2+2t -4+10t = -6 +12t

Passo 4

Escrevemos a integral componente a componente:
integralC(-x+2z),d r = l( integral0^1(-6+12t)(-2),dt,; integral0^1(-6+12t)(-1),dt,; integral0^1(-6+12t)(5),dt r)

Passo 5

Calculando cada componente:
integral0^1(-6+12t)(-2),dt =integral0^1(12-24t),dt =l[12t-12t^2r]0^1 =0,
integral0^1(-6+12t)(-1),dt =integral0^1(6-12t),dt =l[6t-6t^2r]0^1 =0,
integral0^1(-6+12t)cdot5,dt =integral0^1(-30+60t),dt =l[-30t+30t^2r]0^1 =0
Logo o resultado é o vetor nulo.

Resposta

(0,0,0)

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