Prove que:
se alpha neq 0, então alpha u=alpha v Rightarrow u=v.

Passo 1

O enunciado afirma que, em um espaço vetorial sobre um corpo (onde existe inverso multiplicativo para todo escalar não nulo), se alpha neq 0 e
alpha u = alpha v,
então deve resultar u = v. O conteúdo é a propriedade de cancelamento na multiplicação escalar.

Passo 2

Partindo de alpha u = alpha v, subtraímos alpha v de ambos os lados e obtemos
alpha u - alpha v = 0

Passo 3

Usando a distributividade do produto escalar em relação à soma (ou subtração) de vetores, escrevemos
alpha(u - v) = 0

Passo 4

Como alpha neq 0 e o corpo subjacente tem inverso multiplicativo alpha^-1, multiplicamos a equação por alpha^-1 e obtemos
alpha^-1l(alpha(u-v)r) = (alpha^-1alpha)(u-v) = 1cdot(u-v) = u-v = 0

Passo 5

Da igualdade u-v = 0 segue diretamente que u = v.

Resposta

u = v.

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