A integral integralegral triplaW f(x, y, z) d V, onde W é sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e 2 x+2 y+z=2 pode ser escrita como:
integral0^1 integral0^1-x integral0^1-x-y f(x, y, z) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral tripla de f(x,y,z) sobre o sólido W limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e 2x+2y+z=2 como um integral iterada.

Passo 2

Para montar o iterado, primeiro projetamos W no plano xy. No plano z=0, a interseção vem de 2x+2y=2, ou seja x+y=1. Como x>=0 e y>=0, obtemos a região triangular (x,y):0<= x<=1,;0<= y<=1-x.
Para cada ponto fixo (x,y) nessa região, z varia de z=0 até a face 2x+2y+z=2, que isolada dá z=2-2x-2y.

Passo 3

Portanto a integral fica
[
\int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1-x} \int_{z=0}^{2-2x-2y} f(x,y,z) ,dz,dy,dx
],
O limite z=1-x-y que aparece na expressão proposta está errado: o plano final é z=2-2x-2y, e não z=1-x-y.

Resposta

integral0^1integral0^1-xintegral0^2-2x-2yf(x,y,z),dz,dy,dx

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