Considere a integral iterada integral0^2 integraly^2^4 y e^x^2 d x d y.
Escreva D como uma região do tipo I e com isso expresse a integral com a ordem de integração trocada.

Passo 1

O enunciado diz que temos a integral iterada integraly=0^2integralx=y^2^4y,e^x^2,dx,dy. O conteúdo é geometria de regiões planas e mudança de ordem de integração, e vamos precisar descrever a região D no plano (x,y) e depois reescrever os limites trocando dx,dy por dy,dx.

Passo 2

Primeiro a gente descreve a região D no sistema original de integração:
D=(x,y):0<= y<=2,;y^2<= x<=4. É a região entre a parábola x=y^2 e a reta x=4, limitada abaixo por y=0 e acima por y=2.

Passo 3

Para inverter a ordem, identificamos o intervalo de x cobrindo toda a região: como y^2 varia de 0 a 4 quando y vai de 0 a 2, temos 0<= x<=4. Para cada x fixo, y deve satisfazer y^2<= x e y>=0, ou seja, 0<= y<=raizx.
Com isso, D fica como região do tipo I:
D=(x,y):0<= x<=4,;0<= y<=raizx

Resposta

A integral com ordem trocada é:
integralx=0^4integraly=0^raizxy,e^x^2,dy,dx

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