Considere a integral iterada
.
Escreva
como uma região do tipo I e com isso expresse a integral com a ordem de integração trocada.
Escreva
Passo 1
O enunciado diz que temos a integral iterada
. O conteúdo é geometria de regiões planas e mudança de ordem de integração, e vamos precisar descrever a região
no plano
e depois reescrever os limites trocando
por
.
Passo 2
Primeiro a gente descreve a região
no sistema original de integração:
. É a região entre a parábola
e a reta
, limitada abaixo por
e acima por
.
Passo 3
Para inverter a ordem, identificamos o intervalo de
cobrindo toda a região: como
varia de 0 a 4 quando
vai de 0 a 2, temos
. Para cada
fixo,
deve satisfazer
e
, ou seja,
.
Com isso, fica como região do tipo I:
Com isso,
Resposta
A integral com ordem trocada é: