A integral integralegral triplaW f(x, y, z) d V, onde W é sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e 2 x+2 y+z=2 pode ser escrita como:
integral0^2 integral0^1 integral0^1-y f(x, y, z) d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral integral triplaWf(x,y,z),dV, onde W é o sólido limitado por x=0, y=0, z=0 e 2x+2y+z=2, usando a ordem de integração dx,dy,dz. Vamos ver por que a proposta integral0^2integral0^1integral0^1-yf(x,y,z),dx,dy,dz não está certa e achar os limites corretos.

Passo 2

Para descrever W em desigualdades, note que dentro de W temos
x>=0, y>=0, z>=0, 2x+2y+z<=2

Passo 3

Fixando um valor de z entre 0 e 2, projetamos a região no plano xy:
2x+2y<=2 - z Long<=ftrightarrow x+y<=1-z2

Passo 4

Da condição x+y<=1-tfrac z2 e x,y>=0, vemos que, para cada z,
[y) varia de 0 a 1-tfrac z2.
Para cada z e y fixos, x vai de 0 até o valor que satisfaz x+y=1-tfrac z2, ou seja,
x de 0 a 1-tfrac z2 - y

Passo 5

Colocando tudo junto na ordem dx,dy,dz, obtemos a integral com os limites corretos.

Resposta

integralz=0^2!integraly=0^1-tfrac z2!integralx=0^1-tfrac z2 - yf(x,y,z),dx,dy,dz

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