integral-pi3^pi3 e^cos ^2 t d t
a partir dos dados da seguinte tabela:
t -pi / 3 -pi / 6 0 pi / 6 pi / 3
f(t) e^1 / 4 e^3 / 4 e e^3 / 4 e^1 / 4
onde e=2.718282 ldots e f(t)=e^cos ^2 t.
(b) Delimite o erro cometido na integração numérica efetuada na parte (a), sabendo que no intervalo -pi / 3 <= t <= pi / 3 temos |f^(4)(t)| <= 20 e.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral integral-pi/3^pi/3e^cos^2t,dt usando os valores de f(t)=e^cos^2t na tabela, e depois estimar o erro sabendo que |f^(4)(t)|<=20e no intervalo. Vamos usar a regra composta de Simpson.

Passo 2

O intervalo é [-pi/3,,pi/3] com 4 subintervalos igualmente espaçados de comprimento h=pi/3-(-pi/3)4=pi6. Para a regra de Simpson composta ( n=4 par) temos:
integral-pi/3^pi/3f(t),dtapproxh3l[f(t0)+4f(t1)+2f(t2)+4f(t3)+f(t4)r],onde tk=-pi/3+k,h, k=0,1,2,3,4.

Passo 3

Da tabela: f(t0)=f(-tfracpi3)=e^1/4,;f(t1)=f(-tfracpi6)=e^3/4,;f(t2)=f(0)=e,;f(t3)=e^3/4,;f(t4)=e^1/4 Substituindo:
integral-pi/3^pi/3e^cos^2tdtapproxpi/63l(e^1/4+4e^3/4+2e+4e^3/4+e^1/4r)=pi18l(2e^1/4+8e^3/4+2er)Isso simplifica para
pi9l(e^1/4+4e^3/4+er)approx4.353

Passo 4

Para o erro da regra de Simpson composta, usamos o fato de que
|ES|<=b-a180,h^4max|f^(4)|Aqui b-a=2pi/3, h=pi/6 e max|f^(4)|<=20e. Logo
|ES|<=2pi/3180l(pi6r)^4,20e =pi^5e17496approx0.048

Resposta

Parte (a): integral-pi/3^pi/3e^cos^2tdtapproxpi9(e^1/4+4e^3/4+e)approx4.353 Parte (b): erro |E|<=pi^5e17496approx0.048

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