F(x)=integral0^x sen(cos y) d y
Utilizando a fórmula de Simpson com uma repetição, calcule
S=integral0^1 F(x) d x
Para obter cada um dos valores de F necessários ao cálculo de S, utilize a fórmula dos trapézios com duas repetições. Estime os erros cometidos no cálculo desses valores.

Passo 1

O enunciado pede para calcular ,S=\int_0^1 F(x),dx, com F(x)=\int_0^x \sin(\cos y),dy. Vamos usar a regra de Simpson com uma repetição (ou seja, n=2 subintervalos de tamanho h=0.5) para S e, para cada valor F(0.5) e F(1), usar a regra do trapézio composta com duas repetições.

Passo 2

Para estimar F(0.5)=\int_0^{0.5}\sin(\cos y),dy usamos o trapézio com h=(0.5-0)/2=0.25. Calculamos f(y)=\sin(\cos y) em y=0,0.25,0.5: f(0)=\sin(1)≈0.84147, f(0.25)=\sin(\cos0.25)≈0.82487, f(0.5)=\sin(\cos0.5)≈0.76903. Assim
F(0.5)approx0.252l(f(0)+2f(0.25)+f(0.5)r)=0.125,(0.84147+2cdot0.82487+0.76903)≈0.40753

Passo 3

Para F(1)=\int_0^1\sin(\cos y),dy usamos trapézio com h=(1-0)/2=0.5. Já temos f(0)=0.84147 e f(0.5)=0.76903, e f(1)=\sin(\cos1)≈0.51440. Então
F(1)approx0.52l(f(0)+2f(0.5)+f(1)r)=0.25,(0.84147+2cdot0.76903+0.51440)≈0.72348

Passo 4

Para estimar o erro do trapézio usamos a fórmula do erro composta:
|ET|<=b-a12h^2max[a,b]|f''(y)|

Passo 5

Calculamos f’’(y)= -\cos y,\cos(\cos y)-\sin^2y,\sin(\cos y) e achamos uma cota conservadora \max|f’’|≈1.45. Assim
|EF(0.5)|<=0.512(0.25)^2cdot1.45≈3.8times10^-3,|EF(1)|<=112(0.5)^2cdot1.45≈3.0times10^-2

Passo 6

Agora aplicamos Simpson a S com h_S=(1-0)/2=0.5:
Sapprox16l(F(0)+4F(0.5)+F(1)r)=16(0+4cdot0.40753+0.72348)≈0.39227

Passo 7

Para estimar o erro total em S combinamos o erro puro de Simpson (uma aplicação)
|ES,,Simpson|<=(b-a)180hS^4max|F^(4)|<=sssim0.7times10^-3,
e o erro introduzido pelas aproximações de F:
4|EF(0.5)|+|EF(1)|6≈4cdot3.8times10^-3+3.0times10^-26≈7.6times10^-3

Passo 8

Somando, o erro total em S é da ordem de 8.3\times10^{-3}.

Resposta

S\approx0.3923\quadcom erro estimado de aproximadamente8.3\times10^{-3}.

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