Utilizando a fórmula de Simpson com uma repetição, calcule
Para obter cada um dos valores de
necessários ao cálculo de
, utilize a fórmula dos trapézios com duas repetições. Estime os erros cometidos no cálculo desses valores.
Passo 1
O enunciado pede para calcular ,S=\int_0^1 F(x),dx, com F(x)=\int_0^x \sin(\cos y),dy. Vamos usar a regra de Simpson com uma repetição (ou seja, n=2 subintervalos de tamanho h=0.5) para S e, para cada valor F(0.5) e F(1), usar a regra do trapézio composta com duas repetições.
Passo 2
Para estimar F(0.5)=\int_0^{0.5}\sin(\cos y),dy usamos o trapézio com h=(0.5-0)/2=0.25. Calculamos f(y)=\sin(\cos y) em y=0,0.25,0.5: f(0)=\sin(1)≈0.84147, f(0.25)=\sin(\cos0.25)≈0.82487, f(0.5)=\sin(\cos0.5)≈0.76903. Assim
Passo 3
Para F(1)=\int_0^1\sin(\cos y),dy usamos trapézio com h=(1-0)/2=0.5. Já temos f(0)=0.84147 e f(0.5)=0.76903, e f(1)=\sin(\cos1)≈0.51440. Então
Passo 4
Para estimar o erro do trapézio usamos a fórmula do erro composta:
Passo 5
Calculamos f’’(y)= -\cos y,\cos(\cos y)-\sin^2y,\sin(\cos y) e achamos uma cota conservadora \max|f’’|≈1.45. Assim
Passo 6
Agora aplicamos Simpson a S com h_S=(1-0)/2=0.5:
Passo 7
Para estimar o erro total em S combinamos o erro puro de Simpson (uma aplicação)
e o erro introduzido pelas aproximações de F:
Passo 8
Somando, o erro total em S é da ordem de 8.3\times10^{-3}.
Resposta
S\approx0.3923\quadcom erro estimado de aproximadamente8.3\times10^{-3}.