Determine se cada sequência abaixo é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente: Indique se a sequência é convergente ou divergente.
Passo 1
Temos uma sequência definida por
. O conteúdo envolve estudar monotonicidade, limites e convergência de sequências. Vamos usar definições de sequência monótona, propriedades do crescimento exponencial e teste de convergência.
Passo 2
Para verificar se
é monótona, calculamos a diferença entre termos consecutivos. Observe que
Como para
isso vale zero (logo
) e para
o numerador
, tem-se
. Portanto para todo
vale
, e com
a sequência é não–crescente, ou seja, decrescente.
Passo 3
Vamos analisar limites e limitações. Sabemos que a parte exponencial domina o fator
, isto é,
Logo
Como a sequência decresce a partir de
, esse valor é o seu maior termo, então está limitada superiormente por
. Como tende a
, não há limite inferior finito.
Passo 4
Para convergência, uma sequência que tende a
não converge para nenhum número real, caracterizando-se como divergente.
Resposta
A sequência é decrescente (não-crescente), limitada superiormente por −1, não limitada inferiormente e divergente (tende a −∞).