Determine se cada sequência abaixo é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente: Indique se a sequência é convergente ou divergente.
1-2^nn

Passo 1

Temos uma sequência definida por an = 1 - 2^nn. O conteúdo envolve estudar monotonicidade, limites e convergência de sequências. Vamos usar definições de sequência monótona, propriedades do crescimento exponencial e teste de convergência.

Passo 2

Para verificar se (an) é monótona, calculamos a diferença entre termos consecutivos. Observe que
an - an+1 = 1 - 2^nn - l(1 - 2^n+1n+1r) = 2^nl(-tfrac1n + tfrac2n+1r) = 2^n(n-1)n(n+1)
Como para n=1 isso vale zero (logo a1=a2) e para n>1 o numerador (n-1)>0, tem-se an - an+1>0. Portanto para todo n>=2 vale an>an+1, e com a1=a2 a sequência é não–crescente, ou seja, decrescente.

Passo 3

Vamos analisar limites e limitações. Sabemos que a parte exponencial domina o fator /n, isto é,
limntoinfty2^nn=+infty
Logo
limntoinftyan = limntoinftyl(1 - 2^nnr) = -infty
Como a sequência decresce a partir de a1= -1, esse valor é o seu maior termo, então está limitada superiormente por -1. Como tende a -infty, não há limite inferior finito.

Passo 4

Para convergência, uma sequência que tende a -infty não converge para nenhum número real, caracterizando-se como divergente.

Resposta

A sequência é decrescente (não-crescente), limitada superiormente por −1, não limitada inferiormente e divergente (tende a −∞).

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