Integral de Potências de Seno e Cosseno
\int \operatorname{sen}^{6}(u) \cdot d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \displaystyle \int \sin^6(u)\,du.
Esse tipo de integral entra no conteúdo de redução de potências de funções trigonométricas, e a ideia principal é usar a identidade \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}.

Passo 2

Reescrevemos \displaystyle \sin^6(u)=(\sin^2(u))^3
e aplicamos diretamente a identidade:
\sin^6(u) =\Bigl(\frac{1-\cos(2u)}{2}\Bigr)^3 =\frac{1}{8}\bigl(1-3\cos(2u)+3\cos^2(2u)-\cos^3(2u)\bigr).

Passo 3

Agora reduzimos os termos de maior potência em \cos:
usamos \displaystyle \cos^2(2u)=\frac{1+\cos(4u)}{2}
e \displaystyle \cos^3(2u)=\frac{3\cos(2u)+\cos(6u)}{4}.
Substituindo isso em \frac{1}{8}(\cdots) e somando termos semelhantes, dá
\sin^6(u) =\frac{5}{16} -\frac{15}{32}\cos(2u) +\frac{3}{16}\cos(4u) -\frac{1}{32}\cos(6u).

Passo 4

Transformamos a integral original em soma de termos fáceis:
\int \sin^6(u)\,du =\int\!\Bigl(\tfrac{5}{16} -\tfrac{15}{32}\cos(2u) +\tfrac{3}{16}\cos(4u) -\tfrac{1}{32}\cos(6u)\Bigr)\,du.
Cada parte integra direto, lembrando que \displaystyle \int \cos(nu)\,du=\tfrac{\sin(nu)}{n}.

Passo 5

Realizando as integrais termo a termo e simplificando coeficientes, obtemos
\int \sin^6(u)\,du =\frac{5}{16}\,u -\frac{15}{64}\sin(2u) +\frac{3}{64}\sin(4u) -\frac{1}{192}\sin(6u) +C.

Resposta

\boxed{\int \sin^6(u)\,du =\frac{5}{16}u -\frac{15}{64}\sin(2u) +\frac{3}{64}\sin(4u) -\frac{1}{192}\sin(6u) +C.}

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