a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias integrais indefinidas envolvendo raízes quadráticas e potências de trinomiais quadráticos. Vamos usar as técnicas clássicas de substituição trigonométrica ou hiperbólica para as raízes do tipo
,
, substituição racional ou redução pelo tipo
e reconhecimento de derivada
. Nos agruparemos por método:
- trig substituição para
e , - trig substituição para
, - racionalização via
quando aparece , - fórmula de redução para
, - translação e trig para
, - reconhecimento de
.
Passo 2
Itens (a) e (d): raízes do tipo
e
.
(a)
.
Use ,
,
. Então
Use
Integramos e voltamos a
:
(d)
.
Use ,
,
. Então
Use
Voltando a
:
Passo 3
Itens (b) e (g): raízes
e
.
(b)
.
Use ,
,
. Então
Use
(use
), e depois retransforme em
. O resultado é
(g)
.
Use ,
,
.
Use
(integração por partes padrão). Voltando:
Passo 4
Item (c):
.
Use ,
,
.
Use
(use
). Logo
Passo 5
Itens (e) e (i): integrais da forma
.
Usamos a fórmula de redução
Usamos a fórmula de redução
(e)
,
. Aplica-se recursivamente para chegar a
.
(i)
,
:
Passo 6
Itens (f) e (h):
.
Faça a translação
, complete o quadrado em
. Depois use
(ou
) e integre.
O resultado final para
vem em termos de frações racionais de
mais funções
ou
.
Passo 7
Itens (j) e (k): reconhecemos que o numerador é derivada do denominador.
(j)
.
Note . Escreva
e separe em duas integrais, uma de redução e outra de tipo
.
Note
(k)
.
Note . Escreva
e separe: integral de
dá
e sobra termo
que é imediato.
Note
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) obtém-se por fórmula de redução a partir de
.
f) Expressão racional em mais
via
,
.
g)
h) Resultado em termos de racional em e
via
,
.
i)
j)
k)
b)
c)
d)
e)
f) Expressão racional em
g)
h) Resultado em termos de racional em
i)
j)
k)