a) integral raiza^2-x^2 d xx^2
b) integral x^2 raiz4-x^2 d x
c) integral d xx^2 raiz1+x^2
d) integral raizx^2-a^2 d xx
e) integral d x(4+x^2)^5
f) integral d x(x+1)^4 raizx^2+2 x+10
g) integral raiz4+x^2 d x
h) integral d x(x+1)^2 raizx^2+2 x+2
i) integral d x(x^2+9)^2
j) integral (x+1) d x(x^2+9)^2
k) integral (2 x+3) d x(x^2+2 x+10)^2
integral d x(x^2+9)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias integrais indefinidas envolvendo raízes quadráticas e potências de trinomiais quadráticos. Vamos usar as técnicas clássicas de substituição trigonométrica ou hiperbólica para as raízes do tipo raiza^2-x^2, raizx^2pm a^2, substituição racional ou redução pelo tipo
integraldx(x^2+a^2)^n,
e reconhecimento de derivada u'/u^m. Nos agruparemos por método:
  • trig substituição para raiza^2-x^2 e raizx^2-a^2,
  • trig substituição para raiz4mp x^2,
  • racionalização via x=tan t quando aparece raiz1+x^2,
  • fórmula de redução para integral dx/(x^2+a^2)^n,
  • translação e trig para raizx^2+2x+C,
  • reconhecimento de u'/u^m.

Passo 2

Itens (a) e (d): raízes do tipo e .
(a) .
Use , , . Então
Integramos e voltamos a :
(d) .
Use , , . Então
Voltando a :

Passo 3

Itens (b) e (g): raízes raiz4-x^2 e raiz4+x^2.
(b) integral x^2raiz4-x^2,dx.
Use x=2sintheta, dx=2costheta,dtheta, raiz4-x^2=2costheta. Então
integral 4sin^2thetacdot2costhetacdot2costheta,dtheta =16integralsin^2thetacos^2theta,dtheta =4integralsin^2(2theta),dtheta
(use sin^2u=(1-cos2u)/2), e depois retransforme em x. O resultado é
x8(4-x^2)^3/2+38xraiz4-x^2-38,4arcsinl(x2r)+C
(g) integralraiz4+x^2,dx.
Use x=2tantheta, dx=2sec^2theta,dtheta, raiz4+x^2=2sectheta.
integral2secthetacdot2sec^2theta,dtheta =4integralsec^3theta,dtheta
(integração por partes padrão). Voltando:
x2raiz4+x^2+!2lnl(x+raiz4+x^2r)+C

Passo 4

Item (c): integraldxx^2raiz1+x^2.
Use x=tantheta, dx=sec^2theta,dtheta, raiz1+x^2=sectheta.
integralsec^2thetatan^2theta,sectheta,dtheta =integralsecthetatan^2theta,dtheta =integral1sinthetacostheta,dtheta =integralcscthetasectheta,dtheta
(use cscthetasectheta=ddtheta(sectheta-csctheta)). Logo
sectheta-csctheta+C =raiz1+x^2-1x+C

Passo 5

Itens (e) e (i): integrais da forma integraldx(x^2+a^2)^n.
Usamos a fórmula de redução
In=integraldx(x^2+a^2)^n =x2a^2(n-1)(x^2+a^2)^n-1 +2n-32a^2(n-1),In-1
(e) a=2, n=5. Aplica-se recursivamente para chegar a I1=12aarctanxa.
(i) a=3, n=2:
integraldx(x^2+9)^2 =x18(x^2+9)+154arctan!x3+C

Passo 6

Itens (f) e (h): integraldx(x+1)^mraizx^2+2x+C.
Faça a translação u=x+1, complete o quadrado em x^2+2x+C=(u)^2+(C-1). Depois use u=raizC-1tantheta (ou sinhtheta) e integre.
O resultado final para
integraldx(x+1)^4raizx^2+2x+10 e integraldx(x+1)^2raizx^2+2x+2
vem em termos de frações racionais de raizu^2+k mais funções arctan ou arcsinh.

Passo 7

Itens (j) e (k): reconhecemos que o numerador é derivada do denominador.
(j) integralx+1(x^2+9)^2,dx.
Note d(x^2+9)=2x,dx. Escreva x+1=tfrac12 d(x^2+9)+1 e separe em duas integrais, uma de redução e outra de tipo integral dx/(x^2+9)^2.
(k) integral2x+3(x^2+2x+10)^2,dx.
Note d(x^2+2x+10)=2x+2. Escreva 2x+3=(2x+2)+1 e separe: integral de u'/u^2 -1/u e sobra termo integral dx/u^2 que é imediato.

Resposta

a)
b)
c)
d)
e) obtém-se por fórmula de redução a partir de
.
f) Expressão racional em mais via , .
g)
h) Resultado em termos de racional em e via , .
i)
j)
k)

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