16 ^ a Questão: Determine os extremos absolutos das funções:
y=2 sen(x)+cos (2 x),|x|=pi

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos da função
y = 2sin(x) + cos(2x)
no intervalo fechado ,[-pi,pi].
Conteúdo: cálculo de derivada, identificação de pontos críticos e comparação de valores em pontos críticos e extremos do domínio.

Passo 2

Calculamos a derivada de y. Como ddxl(2sin(x)r)=2cos(x) e ddxl(cos(2x)r)=-2sin(2x), temos
y' = 2cos(x) - 2sin(2x)
Para simplificar, use sin(2x)=2sin(x)cos(x), logo
y' = 2cos(x) - 4sin(x)cos(x) = 2cos(x)l(1 - 2sin(x)r)

Passo 3

A derivada anula-se quando
2cos(x)l(1 - 2sin(x)r)=0
ou seja
cos(x)=0 ou sin(x)=tfrac12
No intervalo ,[-pi,pi] isso ocorre em
x = pm tfracpi2 e x = tfracpi6,,tfrac5pi6

Passo 4

Agora avaliamos y nesses pontos críticos e nos extremos do intervalo x=-pi e x=pi:
  1. x=-pi ou x=pi:
y = 2sin(pmpi)+cos(2pi) = 0 + 1 = 1
  1. x=tfracpi2:
y = 2sinl(tfracpi2r) + cos(pi) = 2cdot1 + (-1) = 1
  1. x=-tfracpi2:
y = 2sinl(-tfracpi2r) + cos(-pi) = 2cdot(-1) + (-1) = -3
  1. x=tfracpi6:
y = 2sinl(tfracpi6r) + cosl(tfracpi3r) = 2cdottfrac12 + tfrac12 = tfrac32
  1. x=tfrac5pi6:
y = 2sinl(tfrac5pi6r) + cosl(tfrac5pi3r) = 2cdottfrac12 + tfrac12 = tfrac32

Passo 5

Comparando os valores:
  • O maior valor de y é tfrac32 em x=tfracpi6 e x=tfrac5pi6.
  • O menor valor de y é -3 em x=-tfracpi2.

Resposta

Máximos absolutos:
ymax = tfrac32 para x=tfracpi6,,tfrac5pi6
Mínimo absoluto:
ymin = -3 para x=-tfracpi2

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