Coloque em evidência os fatores comuns:
(c) -32(4 x^2-1)^-5 / 2(8 x)(1+x^2)^2 / 3+(4 x^2-1)^-3 / 2(23)(1+x^2)^-1 / 3(2 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a soma de dois termos
-32(4x^2-1)^-5/2(8x)(1+x^2)^2/3 ;+;(4x^2-1)^-3/2l(tfrac23r)(1+x^2)^-1/3(2x)
e pede para colocar em evidência os fatores comuns. O conteúdo é fatoração de expressões algébricas com potências racionais e negativas, e vamos precisar identificar o maior divisor comum dos coeficientes e o menor expoente (mais “negativo” ou “baixo”) nas potências.

Passo 2

Primeiro simplificamos cada termo multiplicando os coeficientes numéricos:
-32cdot 8x = -12x e 23cdot 2x = 4x3
Assim os termos ficam
-12x,(4x^2-1)^-5/2(1+x^2)^2/3 e 4x3,(4x^2-1)^-3/2(1+x^2)^-1/3

Passo 3

Para fatorar escolhemos como fator comum:
  • o maior divisor comum dos coeficientes -12 e tfrac43, que é tfrac43,
  • a variável x,
  • a potência de (4x^2-1) com o menor expoente (mais negativo), que é -tfrac52,
  • a potência de (1+x^2) com o menor expoente, que é -tfrac13.
Logo o fator comum é
43,x,(4x^2-1)^-5/2(1+x^2)^-1/3

Passo 4

Agora dividimos cada termo por esse fator comum para formar o colchete:
  1. Primeiro termo dividido por esse fator:
-12xtfrac43x = -12xcdot34x = -9, (4x^2-1)^-5/2(4x^2-1)^-5/2=1, (1+x^2)^2/3(1+x^2)^-1/3=(1+x^2)^1
Fica -9(1+x^2).
  1. Segundo termo dividido por esse fator:
tfrac4x3tfrac43x =1, (4x^2-1)^-3/2(4x^2-1)^-5/2=(4x^2-1)^1, (1+x^2)^-1/3(1+x^2)^-1/3=1
Fica 4x^2-1.
Juntando, o colchete é
(4x^2-1);-;9(1+x^2)

Resposta

43,x,(4x^2-1)^-5/2(1+x^2)^-1/3 l[(4x^2-1)-9(1+x^2)r]

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