integral raizx1+x d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que resolver a integral integral raizx1+x , dx. Esse exercício envolve o estudo de integração, especificamente usando técnicas de substituição. Vamos precisar entender como simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma troca de variável para simplificar a integral. Vamos chamar $ t = \sqrt{x} $. Isso significa que $ x = t^2 $. Agora, precisamos encontrar a derivada de $ x $ em relação a $ t $ para substituir $ dx $.

Passo 3

Calculando a derivada de $ x = t^2 $ em relação a $ t $:
x = t^2
Agora, substituímos $ \sqrt{x} $ por $ t $ e $ dx $ por $ 2t , dt $ na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral raizx1+x , dx = integral t1 + t^2 cdot 2t , dt = 2 integral t^21 + t^2 , dt

Passo 5

Agora, vamos simplificar a fração dentro da integral:
t^21 + t^2 = 1 - 11 + t^2
Isso porque:
1 - 11 + t^2 = (1 + t^2) - 11 + t^2 = t^21 + t^2
Então, a integral fica:
2 integral (1 - 11 + t^2) , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
2 integral 1 , dt - 2 integral 11 + t^2 , dt
A primeira integral é direta, e a segunda é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente.

Passo 7

Calculando as integrais:
2 cdot t - 2 cdot arctan(t) + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos $ t = \sqrt{x} $ de volta para retornar à variável original:
t = raizx

Resposta

A integral integral raizx1+x , dx é igual a:
2 raizx - 2 arctan(raizx) + C

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