Passo 1
Beleza! A gente tem que resolver a integral
. Esse exercício envolve o estudo de integração, especificamente usando técnicas de substituição. Vamos precisar entender como simplificar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma troca de variável para simplificar a integral. Vamos chamar $ t = \sqrt{x} $. Isso significa que $ x = t^2 $. Agora, precisamos encontrar a derivada de $ x $ em relação a $ t $ para substituir $ dx $.
Passo 3
Calculando a derivada de $ x = t^2 $ em relação a $ t $:
Agora, substituímos $ \sqrt{x} $ por $ t $ e $ dx $ por $ 2t , dt $ na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a fração dentro da integral:
Isso porque:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é direta, e a segunda é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente.
Passo 7
Calculando as integrais:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos $ t = \sqrt{x} $ de volta para retornar à variável original:
Resposta
A integral
é igual a: