• integral 2 sec (3 x) cdot tg(3 x) dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício é calcular a integral de 2 sec(3x) cdot tan(3x) , dx. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral que temos: integral 2 sec(3x) cdot tan(3x) , dx. Notamos que dentro da integral há uma função trigonométrica composta, ou seja, sec(3x) multiplicada por tan(3x). Isso sugere que podemos usar a substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir u = sec(3x). Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir na integral. A derivada de sec(3x) é sec(3x) cdot tan(3x) cdot 3, ou seja:
dudx = 3 sec(3x) tan(3x)
Então, rearranjando para dx:
dx = du3 sec(3x) tan(3x)

Passo 4

Agora, vamos substituir u e dx na nossa integral original:
integral 2 sec(3x) cdot tan(3x) , dx = integral 2 sec(3x) cdot tan(3x) cdot du3 sec(3x) tan(3x) = integral 23 , du
A expressão simplifica porque sec(3x) e tan(3x) se cancelam.

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral 23 , du = 23 integral du = 23 u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, lembramos que u = sec(3x). Substituindo de volta, temos:
23 u + C = 23 sec(3x) + C

Resposta

integral 2 sec(3x) cdot tan(3x) , dx = 23 sec(3x) + C

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