Esboce a região limitada pelas linhas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e avalie a integral.
As parábolas
e
.
As parábolas
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos esboçar a região limitada pelas parábolas
e
, expressar a área dessa região como uma integral dupla iterada e calcular seu valor. O conteúdo da matéria aqui é cálculo de área por integrais duplas e vamos precisar determinar os limites de integração a partir das interseções das curvas.
Passo 2
Para achar onde as curvas se cruzam, igualamos
. Resolvendo essa equação:
Passo 3
Substituindo em
(ou em
), obtemos
. Logo os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Para
temos
portanto, em cada faixa de
Passo 5
A área
da região é dada por
Passo 6
Calculando a integral interna em
, temos
portanto
Passo 7
Agora avaliaremos