Esboce a região limitada pelas linhas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e avalie a integral.
As parábolas x=y^2-1 e x=2 y^2-2.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos esboçar a região limitada pelas parábolas x = y^2 - 1 e x = 2y^2 - 2, expressar a área dessa região como uma integral dupla iterada e calcular seu valor. O conteúdo da matéria aqui é cálculo de área por integrais duplas e vamos precisar determinar os limites de integração a partir das interseções das curvas.

Passo 2

Para achar onde as curvas se cruzam, igualamos y^2 - 1 = 2y^2 - 2. Resolvendo essa equação:
y^2 - 1 = 2y^2 - 2 implies y^2 = 1 implies y = pm1

Passo 3

Substituindo em x = y^2 - 1 (ou em x = 2y^2 - 2), obtemos x = 1 - 1 = 0. Logo os pontos de interseção são (0,1) e (0,-1).

Passo 4

Para -1 <= y <= 1 temos
2y^2 - 2 <= y^2 - 1,
portanto, em cada faixa de y, x varia de xmin = 2y^2 - 2 até xmax = y^2 - 1. Escolhemos integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 5

A área A da região é dada por
A = integraly=-1^1 integralx=2y^2 - 2^y^2 - 1 dx,dy

Passo 6

Calculando a integral interna em x, temos
integral2y^2 - 2^y^2 - 1 dx = (y^2 - 1) - (2y^2 - 2) = 1 - y^2,
portanto
A = integral-1^1 (1 - y^2) , dy

Passo 7

Agora avaliaremos
integral-1^1 1,dy = 2, integral-1^1 y^2,dy = 23

Resposta

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