Transforme a integral Cartesiana numa integral em coordenadas polares e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla abaixo usando coordenadas polares e depois obter seu valor numérico. O conteúdo envolvido é transformação de integrais duplas de coordenadas cartesianas para polares e cálculo de integrais iteradas.
Passo 2
A região de integração em (x,y) é dada por
Isso significa que
ou seja, um quarto de círculo de raio
no primeiro quadrante. Em coordenadas polares temos:
Passo 3
Para passar para polares usamos
Logo a integral vira
Passo 4
Primeiro calculamos a integral em
:
Usando integração por partes, com
,
, obtemos
Avaliando de 0 a
dá
Passo 5
Agora integramos em
:
Multiplicando pelo resultado de
, a integral total fica