Transforme a integral Cartesiana numa integral em coordenadas polares e calcule a integral.
integral0^ln 2 integral0^raiz(ln 2)^2-y^2 e^raizx^2+y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla abaixo usando coordenadas polares e depois obter seu valor numérico. O conteúdo envolvido é transformação de integrais duplas de coordenadas cartesianas para polares e cálculo de integrais iteradas.
integral0^ln 2!integral0^raiz(ln 2)^2 - y^2 e^raizx^2+y^2,dx,dy

Passo 2

A região de integração em (x,y) é dada por
0 <= y <= ln 2,
0 <= x <= raiz(ln 2)^2 - y^2.
Isso significa que
x^2 + y^2 <= (ln 2)^2,
x >= 0,;y >= 0,
ou seja, um quarto de círculo de raio ln 2 no primeiro quadrante. Em coordenadas polares temos:
r in [0,ln 2], theta in [0,tfracpi2].

Passo 3

Para passar para polares usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, raizx^2+y^2=r, dx,dy = r,dr,dtheta
Logo a integral vira
integral0^pi/2!integral0^ln 2 e^r,r,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro calculamos a integral em r:
Ir = integral0^ln 2 r e^r,dr
Usando integração por partes, com u=r, dv=e^r dr, obtemos
integral r e^r dr = r e^r - integral e^r dr = e^r(r-1) + C
Avaliando de 0 a ln 2
Ir = e^ln 2(ln 2 - 1) - e^0(0 - 1) = 2(ln 2 - 1) + 1 = 2ln 2 - 1

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pi/2 dtheta = pi2
Multiplicando pelo resultado de Ir, a integral total fica
pi2,(2ln 2 - 1)

Resposta

pi2,(2ln 2 - 1)

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