1. integral tg^2(2 theta) d theta

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa calcular a integral integral tan^2(2theta) , dtheta. O conteúdo envolve identidades trigonométricas e técnicas de substituição para integrais.

Passo 2

Vamos usar a identidade trigonométrica que transforma tan^2 u em algo mais simples. A identidade é:
tan^2 u = sec^2 u - 1
e aqui vamos aplicá-la com u = 2theta.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
integral tan^2(2theta) , dtheta = integral l[sec^2(2theta) - 1r] , dtheta

Passo 4

Agora separamos em duas integrais:
integral sec^2(2theta) , dtheta - integral 1 , dtheta
Para a primeira, fazemos a substituição u = 2theta, então du = 2,dtheta e dtheta = tfrac12 , du. Isso dá:
integral sec^2(2theta) , dtheta = 12 integral sec^2 u , du = 12 tan u = 12 tan(2theta)
A segunda integral é direta:
integral 1 , dtheta = theta

Passo 5

Juntando tudo e lembrando da constante de integração C, obtemos
12 tan(2theta) - theta + C

Resposta

tfrac12,tan(2theta) - theta + C

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