Beleza, vamos resolver o item (a) juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função definida por $ f(x) = -x $ no intervalo f(x) = -x e que se repete a cada -L <= x <= L. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série para montar a representação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função periódica com período 2L pode ser representada pela série de Fourier da seguinte forma:
Aqui, a0, an e bn são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente a0, que representa a média da função no período:
a0 = 1L integral-L^L f(x) , dx
Substituindo f(x) = -x:
a0 = 1L integral-L^L (-x) , dx
Calculando a integral:
a0 = 1L [ -x^22 ]-L^L = 1L ( -L^22 + L^22 ) = 0
Agora, vamos calcular os coeficientes an:
an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) dx
Substituindo f(x) = -x:
an = -1L integral-L^L x cos(npi xL) dx
Observamos que a função x cos(npi xL) é uma função ímpar (produto de uma função ímpar x e uma função par cos). A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto, an = 0 para todo n.
Agora, vamos calcular os coeficientes bn:
bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npi xL) dx
Substituindo f(x) = -x:
bn = -1L integral-L^L x sin(npi xL) dx
Como x sin(npi xL) é uma função par (produto de duas funções ímpares), a integral não é zero e pode ser calculada da seguinte forma:
bn = -2L integral0^L x sin(npi xL) dx
Integrando por partes, onde u = x e dv = sin(npi xL) dx, obtemos: