Encontre a série de Fourrier da função dada.
(a) f(x)=-x,-L <= x <= L, f(x+2 L)=f(x).
(b) f(x)=l1, se, -L <= x<0 0, se, 0 <= x
© f(x)=lx+1, se, -1 <= x <= 0 1-x, se, 0 <= x<1, f(x+2)=f(x)
(d) f(x)=lx+L, se -L <= x <= 0 L, se, 0 <= x <= L, f(x+2 L)=f(x)
(e) f(x)=l0, se, -2 <= x <=-1 x, se -1 <= x <= 1 , f(x+4)=f(x) 0, se 1 <= x<2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (a) juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função definida por $ f(x) = -x $ no intervalo f(x) = -x e que se repete a cada -L <= x <= L. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série para montar a representação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função periódica com período 2L pode ser representada pela série de Fourier da seguinte forma:
f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(npi xL) + bn sin(npi xL) )
Aqui, a0, an e bn são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente a0, que representa a média da função no período:
a0 = 1L integral-L^L f(x) , dx
Substituindo f(x) = -x:
a0 = 1L integral-L^L (-x) , dx
Calculando a integral:
a0 = 1L [ -x^22 ]-L^L = 1L ( -L^22 + L^22 ) = 0
Agora, vamos calcular os coeficientes an:
an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) dx
Substituindo f(x) = -x:
an = -1L integral-L^L x cos(npi xL) dx
Observamos que a função x cos(npi xL) é uma função ímpar (produto de uma função ímpar x e uma função par cos). A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto, an = 0 para todo n.
Agora, vamos calcular os coeficientes bn:
bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npi xL) dx
Substituindo f(x) = -x:
bn = -1L integral-L^L x sin(npi xL) dx
Como x sin(npi xL) é uma função par (produto de duas funções ímpares), a integral não é zero e pode ser calculada da seguinte forma:
bn = -2L integral0^L x sin(npi xL) dx
Integrando por partes, onde u = x e dv = sin(npi xL) dx, obtemos:
bn = -2L [ -Lnpi x cos(npi xL) |0^L + Lnpi integral0^L cos(npi xL) dx ]
Simplificando e resolvendo as integrais, chegamos a:
bn = 2Lnpi (-1)^n+1

Resposta

A série de Fourier da função $ f(x) = -x $ definida por f(x) = -x e periódica com período -L <= x <= L é dada por:
2L

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