1. integral d xx^2+2 x-8

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral dxx^2+2x-8. O conteúdo é integração de função racional, e vamos precisar usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^2+2x-8. Procuramos raízes de x^2+2x-8=0, que são x=2 e x=-4. Logo,
x^2+2x-8=(x-2)(x+4)

Passo 3

Em seguida, escrevemos a decomposição em frações parciais:
1x^2+2x-8=1(x-2)(x+4)=Ax-2+Bx+4

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+4), obtemos
1=A(x+4)+B(x-2)

Passo 5

Para encontrar A e B, podemos escolher valores convenientes de x:
  • Se x=2, então 1=A(6) e A=tfrac16.
  • Se x=-4, então 1=B(-6) e B=-tfrac16

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos
integral dxx^2+2x-8=integrall(1/6x-2-1/6x+4r)dx

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
integral 1/6x-2,dx=tfrac16ln|x-2|,integral -1/6x+4,dx=-tfrac16ln|x+4|

Resposta

16lngl|x-2x+4gr|+C

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