Exercício 2

Projete uma transmissão por correia plana para conectar eixos horizontais a 4,8 \mathrm{~m} entre centros. A razão de velocidade deve ser de 2,25: 1. A velocidade angular da polia motora menor é de 860 \mathrm{rev} / \mathrm{min}, e a potência nominal transmitida deve ser de 44760 W sob condição de choques bem leves.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede projetar uma transmissão por correia plana ligando dois eixos com centro a \,4{,}8\\ \mathrm{m}\, e com razão de velocidades \,2{,}25:1.
  • Dados fornecidos:
    • distância entre centros: \,C=4{,}8\\ \mathrm{m}\,;
    • razão de velocidades: \,i=2{,}25:1 (interpreto como velocidade da polia motora menor sobre a polia movida = 2{,}25, ou seja a polia motora gira mais rápido e a polia movida gira mais devagar);
    • velocidade angular da polia motora menor: \,n_1=860\\ \mathrm{rev/min}\,;
    • potência nominal a transmitir: \,P=44760\\ \mathrm{W}\,;
    • condição de choques: “choques bem leves” (isto afeta o fator de serviço; usarei fator de serviço igual a \,1{,}0 por ser choque bem leve).
  • O projeto típico que se espera definir inclui: diâmetros das polias \,D_1 (menor, motora) e \,D_2 (maior, movida), comprimento da correia \,L, velocidade periférica da correia \,v, tensões (lado tenso \,T_1 e folgado \,T_2) e largura da correia \,b.
  • Observação importante: não foram dados material da correia nem espessura. Vou assumir valores típicos de projeto para correia plana com reforço têxtil/rubber usados em máquinas: coeficiente de atrito \,\mu=0{,}30 (valor comum para correia plana sobre polia metálica com superfície razoável) e espessura da correia \,t=0{,}006\\ \mathrm{m} (6 mm). Para tensão admissível de trabalho assumirei \,\sigma_\text{adm}=2{,}5\\ \mathrm{MPa} (valor conservador típico para correias planas de composição tradicional). Vou justificar e comentar essas escolhas nos passos seguintes.

Passo 2

Entendendo a razão de velocidades e velocidades relativas — cálculo de n_2 (velocidade da polia movida).
  • A razão de velocidades \,i=2{,}25:1 significa que a polia motora gira \,2{,}25 vezes mais rápido que a movida. Assim
i=\frac{n_1}{n_2} \quad\Rightarrow\quad n_2=\frac{n_1}{i}.
  • Substituindo os dados:
n_2=\frac{860}{2{,}25}= \frac{860}{2{,}25}\approx 382{,}222\\ \mathrm{rev/min}.
  • Interpretação: a polia movida gira aproximadamente \,382{,}2\\ \mathrm{rev/min}.

Passo 3

Escolha da velocidade periférica (linear) da correia e cálculo do diâmetro da polia motora \,D_1.
  • Explicação didática rápida: a velocidade periférica da correia é \,v=\dfrac{\pi D n}{60} (onde \,D em metros, \,n em rev/min e \,v em m/s). Em projeto de correias planas costuma-se escolher uma velocidade periférica de projeto \,v entre cerca de \,15 e \,30\\ \mathrm{m/s} dependendo de uso; para máquinas gerais e choques leves um valor intermediário \,v\approx20\\ \mathrm{m/s} é uma boa escolha prática (não muito baixo, nem excessivo para desgaste).
  • A partir de \,v=20\\ \mathrm{m/s} calculamos \,D_1 (diâmetro da polia motora menor) resolvendo
v=\frac{\pi D_1 n_1}{60}\quad\Rightarrow\quad D_1=\frac{60\,v}{\pi n_1}.
  • Substituindo:
D_1=\frac{60\cdot 20}{\pi\cdot 860}=\frac{1200}{\pi\cdot 860}\approx 0{,}4444\\ \mathrm{m}.
  • Resultado: \,D_1\approx 0{,}444\\ \mathrm{m} (ou \,444\\ \mathrm{mm}). A velocidade periférica resultante é exatamente o escolhido \,v\approx 20{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo do diâmetro da polia movida \,D_2 a partir da razão de velocidades e verificação de relações geométricas.
  • Para transmissão por correia sem deslizamento apreciável, a razão de velocidades entre polias é inversamente proporcional aos diâmetros:
\frac{n_1}{n_2}=\frac{D_2}{D_1}=i.
  • Logo
D_2=i\;D_1=2{,}25\cdot 0{,}4444\approx 1{,}0000\\ \mathrm{m}.
  • Resultado: \,D_2\approx 1{,}000\\ \mathrm{m} (ou \,1000\\ \mathrm{mm}).
  • Verificação rápida: a razão de centros sobre diâmetro maior fica \,C/D_2=4{,}8/1{,}0=4{,}8, que está numa faixa prática (não muito pequena nem excessiva).

Passo 5

Cálculo do comprimento da correia \,L (fórmula padrão para correia aberta).
  • Fórmula padrão para comprimento de correia em transmissão aberta entre polias de diâmetros D_1 e D_2 e centro C:
L=2C+\frac{\pi}{2}(D_1+D_2)+\frac{(D_2-D_1)^2}{4C}.
  • Substituindo os valores ( D_1=0{,}4444\\ \mathrm{m}, D_2=1{,}0000\\ \mathrm{m}, C=4{,}8\\ \mathrm{m}):
\begin{aligned} L&=2\cdot4{,}8+\frac{\pi}{2}(0{,}4444+1{,}0000)+\frac{(1{,}0000-0{,}4444)^2}{4\cdot 4{,}8}\\[4pt] &=9{,}6+\frac{\pi}{2}\cdot 1{,}4444+\frac{(0{,}5556)^2}{19{,}2}. \end{aligned}
  • Calculando os termos:
    • \dfrac{\pi}{2}\cdot 1{,}4444\approx 2{,}267,
    • (0{,}5556)^2\approx 0{,}3086; dividido por 19{,}2 \approx 0{,}01608.
  • Portanto
L\approx 9{,}6+2{,}267+0{,}01608\approx 11{,}8831\\ \mathrm{m}.
  • Resultado: comprimento de correia \,L\approx 11{,}883\\ \mathrm{m}. Em prática escolhe-se um comprimento comercial próximo (por exemplo 11{,}9\\ \mathrm{m} ou ajustar para comprimento padrão disponível).]

Passo 6

Cálculo do ângulo de contato (envolvimento) nas polias — passo necessário para estimar a capacidade de transmissão via atrito.
  • Para correia aberta, define-se primeiro o ângulo auxiliar \alpha (em radianos):
\alpha=\arcsin\!\left(\frac{D_2-D_1}{2C}\right).
  • Substituindo:
\alpha=\arcsin\!\left(\frac{1{,}0000-0{,}4444}{2\cdot 4{,}8}\right)=\arcsin\!\left(\frac{0{,}5556}{9{,}6}\right)=\arcsin(0{,}05787)\approx 0{,}0579\\ \text{rad}.
  • Os ângulos de contato (envolvimento) nas polias para correia aberta são:
\theta_1=\pi+2\alpha\quad(\text{polia menor}),\qquad \theta_2=\pi-2\alpha\quad(\text{polia maior}).
  • Então
\theta_1\approx \pi+2\cdot0{,}0579\approx 3{,}2574\\ \text{rad}, \qquad \theta_2\approx \pi-2\cdot0{,}0579\approx 3{,}0258\\ \text{rad}.
  • Observação prática: o limite de aderência é controlado pelo menor ângulo de contato (aqui \theta_2 na polia maior), pois nele é mais fácil ocorrer deslizamento.

Passo 7

Determinação da relação de tensões possível por atrito \,T_1/T_2 e cálculo das tensões necessárias a partir da potência transmitida.
  • Conceito: a relação entre a tensão do lado tenso \,T_1 e a do lado folgado \,T_2 sem deslizamento é dada pela fórmula de Euler:
\frac{T_1}{T_2}=e^{\mu\theta},
onde \,\mu é o coeficiente de atrito entre correia e polia e \,\theta é o ângulo de contato (em rad). Para segurança devemos usar o menor ângulo de contato, que é \theta_2.
  • Adotei \,\mu=0{,}30 (valor típico). Assim
\frac{T_1}{T_2}=e^{0{,}30\cdot 3{,}0258}=e^{0{,}90774}\approx 2{,}478.
  • Relação entre potência e tensões: a potência transmitida é
P=(T_1-T_2)\,v,
onde v é a velocidade periférica da correia (m/s). Usando v=20{,}0\\ \mathrm{m/s} e P=44760\\ \mathrm{W} (fator de serviço =1), temos
T_1-T_2=\frac{P}{v}=\frac{44760}{20{,}0}=2238\\ \mathrm{N}.
  • Com \,r=\dfrac{T_1}{T_2}=2{,}478 e \,T_1-T_2=2238\\ \mathrm{N} resolvemos para \,T_1:
T_1\left(1-\frac{1}{r}\right)=2238 \quad\Rightarrow\quad T_1=\frac{2238}{1-\dfrac{1}{2{,}478}}.
  • Calculando:
    • 1-\dfrac{1}{2{,}478}\approx 1-0{,}4036=0{,}5964,
    • T_1\approx \dfrac{2238}{0{,}5964}\approx 3752\\ \mathrm{N}.
  • E
T_2=\frac{T_1}{r}\approx \frac{3752}{2{,}478}\approx 1514\\ \mathrm{N}.
  • Comentário: \,T_1 é a tensão no lado tenso (lado que puxa) e \,T_2 no lado folgado.

Passo 8

Cálculo da largura da correia \,b a partir da tensão admissível do material.
  • Modelo prático: a tensão máxima permitida no corpo da correia é \sigma_\text{adm} (em N/m^2). Para correia plana de espessura t a área de seção é A=b\cdot t. Para evitar ruptura/fadiga dimensiona-se tal que
T_1 \le \sigma_\text{adm}\,A = \sigma_\text{adm}\,b\,t.
  • Assim a largura necessária é
b=\frac{T_1}{\sigma_\text{adm}\,t}.
  • Assumindo valores típicos (expliquei antes): \,\sigma_\text{adm}=2{,}5\\ \mathrm{MPa}=2{,}5\cdot10^{6}\\ \mathrm{N/m^2} e \,t=0{,}006\\ \mathrm{m}. Substituindo:
b=\frac{3752}{2{,}5\cdot10^{6}\cdot 0{,}006}=\frac{3752}{15000}\approx 0{,}2501\\ \mathrm{m}.
  • Resultado prático: \,b\approx 0{,}250\\ \mathrm{m} ou \,250\\ \mathrm{mm}.
  • Comentário didático: este valor é conservador porque usei \sigma_\text{adm} relativamente baixo (2,5 MPa). Se o projeto adotar material com maior resistência (por exemplo \sigma_\text{adm}=4{,}0\\ \mathrm{MPa}), a largura requerida cairia para cerca de \,0{,}156\\ \mathrm{m}. Em projeto real escolhe-se material/composição da correia e espessura comercial e, se necessário, arredonda-se a largura para o próximo tamanho comercial disponível (ex.: 200\\ \mathrm{mm},\;250\\ \mathrm{mm}).

Passo 9

Tensões de pré-tensão (tensão média) e verificações rápidas.
  • Tensão média (pré-tensão recomendada) costuma-se tomar como a média \,T_0\approx\dfrac{T_1+T_2}{2}:
T_0\approx \frac{3752+1514}{2}\approx 2633\\ \mathrm{N}.
  • Observação: o valor de T_0 dá uma ideia da tensão inicial que deve ser aplicada na correia por ajuste de centro/mesa. Em projeto real verifica-se também as tensões estáticas máximas admissíveis para evitar deformação permanente e vida útil.

Passo 10

Resumo final dos valores projetados e recomendações práticas.
  • Valores calculados:
    • diâmetro polia motora (menor): \,D_1\approx 0{,}444\\ \mathrm{m} ( 444\\ \mathrm{mm});
    • diâmetro polia movida (maior): \,D_2\approx 1{,}000\\ \mathrm{m} ( 1000\\ \mathrm{mm});
    • comprimento da correia: \,L\approx 11{,}883\\ \mathrm{m} (usar comercial próximo, ex.: 11{,}9\\ \mathrm{m});
    • velocidade periférica da correia: \,v\approx 20{,}0\\ \mathrm{m/s};
    • tensões: \,T_1\approx 3752\\ \mathrm{N} (lado tenso) e \,T_2\approx 1514\\ \mathrm{N} (lado folgado);
    • largura da correia (assumindo \,\sigma_\text{adm}=2{,}5\\ \mathrm{MPa} e t=6\\ \mathrm{mm}): \,b\approx 0{,}250\\ \mathrm{m} (250 mm);
    • tensão média (pré-tensão): \,T_0\approx 2633\\ \mathrm{N}.
  • Recomendações práticas:
    • arredondar os diâmetros para valores comerciais próximos (por exemplo escolher polia motora D_1=0{,}45\\ \mathrm{m} e movida D_2=1{,}0125\\ \mathrm{m} mantendo razão aproximadamente 2{,}25); se fizer isso recalcule L e v e ajuste largura da correia se necessário;
    • se for possível escolher correia com \sigma_\text{adm} maior, a largura necessária diminui — mas sempre considerar durabilidade e fadiga;
    • revisar o coeficiente de atrito \mu com base no acabamento da polia e material da correia; se \mu for menor, a relação T_1/T_2 diminui e pode ser necessário aumentar T_1 (maior largura ou tensão) para evitar escorregamento.

Resposta

D_1=0{,}444\\ \mathrm{m}
D_2=1{,}000\\ \mathrm{m}
L=11{,}883\\ \mathrm{m}
v=20{,}0\\ \mathrm{m/s}
T_1=3752\\ \mathrm{N}
T_2=1514\\ \mathrm{N}
b=0{,}250\\ \mathrm{m}
T_0=2633\\ \mathrm{N}

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